$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とします．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{CE}$となるようにとります．ただし，点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なるものとします．次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めなさい．
(3)$\mathrm{DE}$の長さが$2 \sqrt{2}$となるとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)四角形$\mathrm{DBCE}$の面積が最小となる$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．また，そのときの四角形$\mathrm{DBCE}$の面積を求めなさい．

座標平面において，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_1(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_1$から反時計回りに，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．同様に，$2$以上の自然数$n$に対して，$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_n(n,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_n$から反時計回りに，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$，$\mathrm{E}_n$，$\mathrm{F}_n$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}_1}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が，正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数とし，頂点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする．
(3)点$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_7$，$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

原点を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$の上に，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$をとる．線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る直線が円$\mathrm{O}$と交わる$2$点のうち，$\mathrm{N}$に近い方の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{NQ}$の長さを求めよ．

円$x^2+(y-1)^2=1$を$C$，円$(x-2)^2+(y-1)^2=1$を$C_0$とする．$C$，$C_0$，$x$軸に接する円を$C_1$とする．$C$，$C_1$，$x$軸に接し$C_0$と異なる円を$C_2$とし，これを繰り返して$C$，$C_n$，$x$軸に接し$C_{n-1}$と異なる円を$C_{n+1}$とする．また，円$C_n$の半径を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

円$x^2+(y-1)^2=1$を$C$，円$(x-2)^2+(y-1)^2=1$を$C_0$とする．$C$，$C_0$，$x$軸に接する円を$C_1$とする．$C$，$C_1$，$x$軸に接し$C_0$と異なる円を$C_2$とし，これを繰り返して$C$，$C_n$，$x$軸に接し$C_{n-1}$と異なる円を$C_{n+1}$とする．また，円$C_n$の半径を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$xy$平面において，点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C$とする．円$C$上に原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}$を取り，直線$\mathrm{OP}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$x$座標が$\mathrm{Q}$と同じで，$y$座標が$\mathrm{P}$と同じである点を$\mathrm{R}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$が円$C$上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点全体を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた曲線と$x$軸および$2$直線$x=0$，$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$b<a$とする．焦点が$(0,\ a)$，準線が$y=b$である放物線を$P$で表すことにする．すなわち，$P$は点$(0,\ a)$からの距離と直線$y=b$からの距離が等しい点の軌跡である．

(1)放物線$P$の方程式を求めよ．
(2)焦点$(0,\ a)$を中心とする半径$a-b$の円を$C$とする．このとき，円$C$と放物線$P$の交点を求めよ．
(3)円$C$と放物線$P$で囲まれた図形のうち，放物線$P$の上側にある部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．

原点を中心とする半径$1$の円$C$と，点$\mathrm{A}(2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円$C_1$がある．円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとり，$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点と点$\mathrm{P}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．以下の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) $S$を$\theta$を用いて表せ．
(ii) $S$の最大値を求めよ．