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弘前大学 国立 弘前大学 2016年 第3問
半円$C_1:x^2+y^2=3,\ y>0$と放物線$C_2:y=ax^2$を考える.点$(2,\ 0)$を通り,$C_1$と接する直線を$\ell$とし,$C_1$と$\ell$の接点を$\mathrm{T}$とする.

(1)$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$C_2$が点$\mathrm{T}$を通るときの$a$の値を求めよ.
(3)$(2)$で求めた$a$に対して,$C_2$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし,$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする.$S_1-S_2$を求めよ.
東京電機大学 私立 東京電機大学 2015年 第5問
半円$C_1:x^2+y^2=16 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=x^2+a$について,次の問に答えよ.

(1)$C_1$と$C_2$が相異なる$2$つの共有点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をもち,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$において$\angle \mathrm{O}={60}^\circ$であるとき,点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標および$a$の値を求めよ.ただし,$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする.
(3)$(2)$のとき,$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2014年 第3問
図のように,点$\mathrm{O}$を中心とし,線分$\mathrm{AB}$を直径とする半径$1$の半円において,円周上に点$\mathrm{P}$をとり,$\angle \mathrm{POA}=\theta$とし,点$\mathrm{P}$における接線が線分$\mathrm{OA}$の延長と交わる点を$\mathrm{H}$とする.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.さらに,線分$\mathrm{OA}$上に$\angle \mathrm{OPB}=\angle \mathrm{OPD}$となるように点$\mathrm{D}$をとる.
(図は省略)

(1)$\displaystyle \mathrm{AP}=[ア] \sin \frac{\theta}{[イ]}$である.
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{\mathrm{AP}}{\theta}=[ウ]$である.
(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \frac{\mathrm{AH}}{\theta^2}=\frac{[エ]}{[オ]}$である.
(4)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{OD}=\frac{[カ]}{[キ]}$である.
横浜国立大学 国立 横浜国立大学 2013年 第5問
関数$f(x)=e^{ax} \ (a>0)$と次の条件(ア),(イ)を満たす関数$g(x)$がある.

\mon[(ア)] $y=g(x)$のグラフは半円
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2 \\
y<q
\end{array}
\right. \]
である.ただし,$p<0,\ q>0,\ r>|p|$とする.
\mon[(イ)] $f(0)=g(0),\ f^\prime(0)=g^\prime(0),\ f^{\prime\prime}(0)=g^{\prime\prime}(0)$

次の問いに答えよ.

(1)$p,\ q,\ r$を$a$を用いて表せ.
(2)$a$がすべての正の実数を動くとき,$r$を最小にする$a$の値を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2013年 第5問
座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の半円$C:x^2+y^2=1 \ (y>0)$上の点を$\mathrm{P}$とする.$a>1$に対して$x$軸上の定点を$\mathrm{A}(a,\ 0)$とし,直線$\mathrm{AP}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)直線$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta$,$\mathrm{OR}=r$とするとき,直線$\mathrm{AQ}$の方程式を$a,\ \theta,\ r$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$のえがく曲線の方程式を求めよ.
(3)(2)で得られた曲線の$a=\sqrt{2}$であるときの概形をかけ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2013年 第5問
座標平面上に,半円$C:x^2+y^2=4$(ただし,$x>0$)と放物線$D:x^2-6y+3=0$がある.半円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$(ただし,$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$)における半円$C$の接線を$\ell$とするとき,次の各問に答えよ.

(1)半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)直線$\ell$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき,$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(3)$(2)$のとき,半円$C$と放物線$D$および直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2013年 第1問
座標平面上に,半円$C:x^2+y^2=4$(ただし,$x>0$)と放物線$D:x^2-6y+3=0$がある.半円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$(ただし,$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$)における半円$C$の接線を$\ell$とするとき,次の各問に答えよ.

(1)半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)直線$\ell$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき,$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(3)$(2)$のとき,半円$C$と放物線$D$および直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2012年 第4問
以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ.

(1)関数$\displaystyle f(x)=\cos^4 x-\sin^4 x+\frac{1}{2} \sin x \sin 2x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$とする.$t=\cos x$とおき$f(x)$を$t$の式で表すと,$f(x)=[ ]$である.$f(x)$は$\cos x=[ ]$のとき最大値$[ ]$をとり,$\cos x=[ ]$のとき最小値$[ ]$をとる.
(2)半円$C_1:x^2+y^2=2 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=ax^2+1-a (a<-1)$とで囲まれた図形の面積$S$を求めたい.

(i) $C_1$と$C_2$の交点を求めると$[ ]$である.
(ii) $C_1$と$C_2$のグラフおよび$(1)$で求めた交点を図示せよ.
(iii) 面積$S=[ ]$である.
東京学芸大学 国立 東京学芸大学 2011年 第4問
長さ2の線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Pをとる.このとき,下の問いに答えよ.

(1)線分ABの中点をOとし,$\angle \text{POB}=\theta$とするとき,弧APと弦APで囲まれる部分の面積を$\theta$で表せ.
(2)弦APがこの半円の面積を2等分するとき,不等式$2 \koa{BP}<\koa{AP}<3 \koa{BP}$が成り立つことを示せ.ただし,$\koa{AP},\ \koa{BP}$は弧AP,弧BPの長さを表す.
京都教育大学 国立 京都教育大学 2011年 第6問
$-1 \leqq a \leqq 1$として,次の問に答えよ.

(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が,ただ1つの点を共有することを示せ.
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ.
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする.次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく.曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ.
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ.ただし,$g(x)$は(3)で定義されたものとする.
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「半円」とは・・・

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