次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]

関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．

$a$を定数，$e$を自然対数の底とし，$\displaystyle f(x)=(a-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$を示せ．
(2)関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$は$(2)$で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty,\ \infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とする．$f(x)=x(x+a)(x-b)$とする．区間$-a \leqq x \leqq 0$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，区間$0 \leqq x \leqq b$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_1$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$のとき，$a=b$となることを示せ．
(3)$S_1=S_2$のとき，$f(x)$は奇関数となることを示せ．また，$f(x)$が奇関数のとき，$S_1=S_2$となることを示せ．ただし，$f(x)$が奇関数であるとは，どのような$x$の値に対しても等式$f(-x)=-f(x)$が成り立つことである．

自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．

自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．

$F(x),\ f(x),\ g(x)$は関数である．次の問いに答えよ．

(1)$0<a \leqq \pi$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^x \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．

(i) $f(x)$は$\displaystyle (1-x) \int_0^x f(t) \, dt=x \int_x^1 f(t) \, dt$と$f(1)=1$を満たすとする．$f(x)$を求めよ．
(ii) $f(x)$は$(ⅰ)$で求めた関数である．$g(x)$は，$x<y$ならば$g(x)>g(y)$を満たし，$\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=0$であるとする．このとき，開区間$(a,\ 2a)$で$F(x)$が極大値をただ$1$つもつように，$a$の値の範囲を定めよ．

(2)$a \geqq 0$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^{x+a} \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．$f(x)>0$，$f^\prime(x)>0$であり，$g(x)=xf(x)$であるとする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$F(x) \leqq 0$となることを示せ．

区間$0 \leqq x \leqq \pi$上で定義される関数
\[ f(x)=\cos 2x-4 \sin^3 x \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(t),\ g(t)$を次のように定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \]
$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \]
と表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき，$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において，関数$f(t)$，$g(t)$がともに単調に増加することを示せ．
(3)次の定積分をそれぞれ求めよ．
\[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

区間$[0,\ 1]$を$n$等分して得た分点を
\[ 0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1 \]
とならべる．すなわち，
\[ x_k=\frac{k}{n} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n) \]
とおく．$f(x)=x^2+1 (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，$4$点$(x_{k-1},\ 0)$，$(x_k,\ 0)$，$(x_k,\ f(x_k))$，$(x_{k-1},\ f(x_{k-1}))$を頂点とする台形$S_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の$k=1$から$k=n$までの集まりを$R_n$とおく．

(1)図形$R_4$を図示せよ．
(2)図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ．

$0<\theta _n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{\theta_n\}$を用いて，閉区間$[0,\ 1]$から始めて，以下のようにしていくつかの閉区間を残す操作を繰り返す．ただし，$a<b$とするとき，開区間$(a,\ b)$の長さは閉区間$[a,\ b]$の長さと等しく$b-a$である．

$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．

\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．

このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．