赤玉$1$個と白玉$3$個が入っている袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出し，空の袋$\mathrm{B}$に入れた状態を最初の入れ方とする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を順に行うことを$1$回の作業とする．


(i) 袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{A}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{B}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．
(ii) 袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{B}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{A}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．

最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_0$とし，上の作業を$n$回行った後で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．玉は色以外に区別できないものとして，次の問いに答えよ．

(1)$P_0,\ P_1$を求めよ．
(2)$P_n$を求めよ．
(3)最初の入れ方から作業を$n$回行って袋$\mathrm{A}$に赤玉があったとき，最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を求めよ．

$\mathrm{A}$の袋には赤玉$5$個，白玉$1$個が入っている．$\mathrm{B}$の袋には赤玉$2$個，白玉$2$個が入っている．この$2$つの袋は見た目では区別できないものとする．このとき，次の確率を求めよ．

(1)$2$つの袋からそれぞれ$2$個ずつ，合計$4$個の玉を取り出すとき，赤玉が$3$個以上である確率
(2)どちらか一方の袋を選んで$1$個の玉を取り出すとき，それが赤玉である確率
(3)どちらか一方の袋を選んで$2$個の玉を取り出すとき，$1$個でも白玉があれば「袋$\mathrm{B}$を選んだ」と判断する．袋$\mathrm{A}$を選んで取り出したときに「袋$\mathrm{B}$を選んだ」と判断してしまう確率

ある野生動物を$10$匹捕獲し，$0$から$9$の番号で区別して体長と体重を記録したところ以下の表のようになった．体長と体重の単位は省略する．

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ \\ \hline
体長 & $60$ & $66$ & $52$ & $69$ & $54$ & $72$ & $74$ & $60$ & $58$ & $61$ \\ \hline
体重 & $5.5$ & $5.7$ & $5.9$ & $5.9$ & $6.0$ & $6.2$ & $6.2$ & $6.4$ & $6.5$ & $6.7$ \\ \hline
\end{tabular}


(1)この$10$匹の体長の最小値は$[$34$][$35$]$，最大値は$[$36$][$37$]$である．
(2)この$10$匹は$5$匹ずつ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類に分類できる．$1$つの種類の中では体長と体重は正の相関を持つ．$10$匹の体長と体重の相関係数は$0.05$以下だが，種類$\mathrm{A}$の$5$匹に限れば$0.95$以上であり，種類$\mathrm{B}$の$5$匹も$0.95$以上である．また，番号$2$の個体は種類$\mathrm{B}$である．このとき，種類$\mathrm{A}$の$5$匹の番号は小さいほうから順に$[$38$]$，$[$39$]$，$[$40$]$，$[$41$]$，$[$42$]$であり，その$5$匹の体長の平均値は$[$43$][$44$].[$45$]$となる．
(3)$10$匹のうち体長の大きいほうから$5$匹の体長の平均値は$[$46$][$47$].[$48$]$である．$(2)$で求めた平均値と異なるのは，体長の大きい$5$匹のうち番号$[$49$]$の個体が種類$\mathrm{B}$だからである．
(4)$(2)$で求めた種類$\mathrm{A}$の$5$匹の体重の偏差と体長の偏差の積の和は$6.6$，体重の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$3$位を四捨五入すると$0.62$，体長の偏差の$2$乗の和の平方根は小数第$1$位を四捨五入すると$[$50$][$51$]$である．

\begin{mawarikomi}{36mm}{
\begin{zahyou*}[ul=1mm](-5,30)(0,35)
\def\C{(0,0)}%
\Drawline{(0,0)(30,0)}%
\Drawline{(0,10)(30,10)}%
\Drawline{(0,20)(30,20)}%
\Drawline{(0,30)(30,30)}%
\Drawline{(0,0)(0,30)}%
\Drawline{(10,0)(10,30)}%
\Drawline{(20,0)(20,30)}%
\Drawline{(30,0)(30,30)}%
\tenretu*{A(10,-13.75);B(10,13.75);C(-17,0)}%
\tenretu*{A(10,13.75);B(17,0);C(-17,0)}%
\emathPut{(0,35)}{例：$4 \times 4$の場合}
\Kuromaru[8pt]{(10,0)}
\Kuromaru[8pt]{(0,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,30)}
\tenretu*{A(-17,0);B(17,0)}%
\end{zahyou*}
}
座標平面の格子点$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n,\ 1 \leqq j \leqq n \}$に$n$個の碁石を置く．ここで，$n$は正の整数とする．ただし，これらの碁石は同じ種類であり，互いに区別できない．また，格子点には高々$1$つの碁石しか置けないものとする．各$i$に対して，$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq j \leqq n \}$を第$i$列，各$j$に対して$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n \}$を第$j$行と呼ぶ．
\end{mawarikomi}

(1)$n$個の碁石を置くすべての場合の配置の総数を$A_n$とすると
\[ A_1=1, A_2=6, A_3=[$1$][$2$], A_4=\kakkofour{$3$}{$4$}{$5$}{$6$}, \cdots \]
である．
(2)$n$個の碁石を置くとき，どの行およびどの列にも$1$個の碁石を置く場合の配置の総数を$B_n$とすると
\[ B_1=1, B_2=2, B_3=[$7$][$8$], B_4=\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}, \cdots \]
である．
(3)$n$個の碁石を置くとき，どの行およびどの列にも高々$2$個の碁石を置く場合の配置の総数を$C_n$とすると
\[ C_1=1, C_2=6, C_3=[$13$][$14$], C_4=\kakkofour{$15$}{$16$}{$17$}{$18$}, \cdots \]
である．

$n$を正の整数とし，$m$を$0$以上$10$以下の整数とする．袋$1$から袋$n$まで，外見では区別のつかない袋が$n$袋ある．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について，袋$k$の中には，赤球が$k$個，白球が$n-k$個入っているものとする．袋を$1$つ選んだ後，その選んだ袋について次の操作を$10$回繰り返して行うことにする．

（操作） 袋から球を$1$つ取り出し，色を確認してその袋に戻す．

赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_{m,n}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_{10,n}$を求めよ．
(3)$m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,n}=\lim_{n \to \infty} P_{m+1,n}$を示せ．

$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の玉があり，これらのうち，$1,\ 2,\ 3$が書かれた玉をそれぞれ玉$1$，玉$2$，玉$3$と呼ぶ．以下の問いに答えよ．

(1)$9$個の玉から$3$個を選んで$1$つの箱に入れる．この入れ方は何通りあるか．
(2)$(1)$の入れ方のうち，箱に，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
(3)$9$個の玉を区別できない$3$つの箱に分けて入れる．ただし，各箱にはそれぞれ$3$個ずつの玉を入れるものとする．この入れ方は何通りあるか．
(4)$(3)$の入れ方のうち，どの箱にも，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．

棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．

(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．

白玉$8$個，赤玉$2$個，青玉$1$個，黄玉$1$個がある．これら$12$個の玉を$4$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にそれぞれ$3$個ずつ入れる．同じ色の玉は区別しないとして，次の問いに答えなさい．

(1)箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のいずれにも白玉を$2$個ずつ入れる入れ方は何通りあるか求めなさい．
(2)白玉が$3$個入る箱と$1$個入る箱がそれぞれ$1$つずつになるような入れ方は何通りあるか求めなさい．

男子$8$人，女子$2$人の合わせて$10$人がいる．次の各問に答えよ．

(1)全員を一列に並べるとき，女子が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(2)$3$人，$3$人，$4$人の$3$つの組に分けるとき，女子$2$人が同じ組に入るような分け方は何通りあるか．ただし，$3$人の組は区別しないものとする．

次の問いに答えよ．

(1)${10}^{a+1}=45,\ {10}^{b+2}=75$のとき，$\log_{10}5$を$a,\ b$を用いて表すと，$\displaystyle \log_{10}5=\frac{-a+[ア]b+[イ]}{[ウ]}$である．
(2)次の連立不等式を満たす整数$x$をすべて加えると$[エ][オ]$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-12x+10<0 \\
x^2-6x-1>0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
(3)区別のつかない$8$個の球を$4$人で分配する方法は$[カ][キ][ク]$通りである．ただし，$1$個も配分されない人がいる場合も含めて考えることにする．
(4)$\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=2,\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \alpha=[ケ]+\sqrt{[コ]}$，$\tan \beta=[サ][シ]+\sqrt{[ス]}$である．
(5)点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 5)$，$\mathrm{B}(0,\ -7,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$に対して，直線$\mathrm{AB}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式は
\[ y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+\frac{[タ]}{[チ]},\quad z=0 \]
である．
(6)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \cdot 3^k=\frac{[ツ]}{[テ]} \{([ト]n-1)3^n+1 \}$である．