$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がサイコロを振って一番大きな目が出た人を勝者とします．ただし，一番大きな目が出た人が$2$人以上いる場合は，その人たち全員を勝者とします．$1$回目で勝者が一人に決まらなかった場合には，勝者の間で再びサイコロを振って，同様の方法で勝者を決めるものとします．このとき次の問いに答えなさい．

(1)$1$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．
(2)$1$回目で勝者が$2$人だけ残る確率を求めなさい．
(3)$2$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．

なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．

(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．

なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．

(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれ$1$個ずつのサイコロを同時に投げ，出た目を大きさの順に$x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$とする．$x_1=x_2=x_3$のときは，もう一度$3$人でサイコロ投げを行う．$x_1 \leqq x_2<x_3$のときは，$x_3$を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．$x_1<x_2=x_3$のときは，$x_1$を出した者は去り，残りの$2$人で異なる目が出るまでサイコロ投げを続け，大きい目を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．次の問いに答えよ．

(1)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が$3$を出して勝者となる場合の数を求めよ．
(2)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝者となる場合の数を求めよ．
(3)$1$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．
(4)$2$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．

$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．

$\mathrm{A}$さんは$5$円硬貨を$3$枚，$\mathrm{B}$さんは$5$円硬貨を$1$枚と$10$円硬貨を$1$枚持っている．$2$人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんに勝つ確率$p$，および引き分けとなる確率$q$をそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に$\mathrm{A}$さんが持っている硬貨の合計金額の期待値$E$を求めよ．