「加法定理」について
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（2ページ目：全15問中11問～20問を表示）
国立 琉球大学 2012年 第2問次の問に答えよ．
(1)加法定理を用いて，$\cos 2x$および$\cos 3x$を$\cos x$で表せ．
(2)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，関数$f(x)=\cos 3x+\cos 2x-2\cos x$の最大値および最小値を求めよ．
(1)加法定理を用いて，$\cos 2x$および$\cos 3x$を$\cos x$で表せ．
(2)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，関数$f(x)=\cos 3x+\cos 2x-2\cos x$の最大値および最小値を求めよ．
私立 愛知学院大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)加法定理$\cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y$（複号同順）を用いて，
\[ \sin x \sin y=\frac{1}{2} (\cos (x-y)-\cos (x+y)) \]
を証明しなさい．
(2)$x+y=\pi$，$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$のとき，$\sin x \sin y$の最大値，最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(1)加法定理$\cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y$（複号同順）を用いて，
\[ \sin x \sin y=\frac{1}{2} (\cos (x-y)-\cos (x+y)) \]
を証明しなさい．
(2)$x+y=\pi$，$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$のとき，$\sin x \sin y$の最大値，最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
私立 西南学院大学 2011年 第1問$\angle \mathrm{B}=60^\circ$，$\angle \mathrm{C}=45^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径が$2$のとき，以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{AC}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)加法定理を利用して$\sin 75^\circ$の値を求めると，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[オ]+\sqrt{[カ]}$である．
(1)$\mathrm{AC}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)加法定理を利用して$\sin 75^\circ$の値を求めると，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[オ]+\sqrt{[カ]}$である．
公立 京都府立大学 2011年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$のそれぞれの大きさを$A,\ B,\ C$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$を余弦の加法定理から導け．
(2)$(1)$の結果を用いて$\displaystyle \cos A+\cos B \leqq 2\sin \frac{C}{2}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$(2)$の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき，$A,\ B,\ C$を求めよ．
(1)$\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$を余弦の加法定理から導け．
(2)$(1)$の結果を用いて$\displaystyle \cos A+\cos B \leqq 2\sin \frac{C}{2}$を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$(2)$の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき，$A,\ B,\ C$を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2010年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3)数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3)数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$