次の問いに答えなさい．

(1)「自然数$m$を$4$で割ったときの余りが$r$であるならば，$m(m+1)$を$4$で割ったときの余りは$r(3-r)$と等しい」ことを$r=0,\ 1,\ 2,\ 3$のそれぞれの場合について$[う]$で示しなさい．ただし，自然数$m$が整数$q,\ r$を用いて
\[ m=4q+r \quad (0 \leqq r<4) \]
と表されるとき，$r$を，$m$を$4$で割ったときの余りという．
(2)$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，初項$a_1$が$2$，公差が$2$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は次の条件
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}-b_n=\frac{a_{n+1}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められている．

(i) 一般項$a_n,\ b_n$は，$n$を用いて表すとそれぞれ$a_n=[$\mathrm{I]$}$，$b_n=[$\mathrm{J]$}$である．
(ii) $2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_n \;|\; n \text{は}39 \text{以下の自然数} \},\quad B=\{b_n \;|\; n \text{は}12 \text{以下の自然数} \} \]
とする．このとき，$A$と$B$の共通部分$A \cap B$の要素の個数を$s$とすると，$s=[$\mathrm{K]$}$である．
(iii) $t$を自然数の定数とする．$2$つの集合$C,\ D$を
\[ C=\{a_n \;|\; n \text{は} 100 \text{以下の自然数}\},\quad D=\{b_n \;|\; n \text{は} t \text{以下の自然数}\} \]
とする．このとき，$C$と$D$の和集合$C \cup D$の要素の個数が$111$であるならば，$t$の値は$t=[$\mathrm{L]$}$である．

$p$を定数とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=pn^2-8pn+p+4 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される．このとき，$p=[ホマ]$である．また，$\{a_n\}$の初項は$[ミム]$，公差は$[メモ]$であり，$S_n$は$n=[ヤ]$のとき最大となる．

次の問に答えよ．

(1)初項$\log_{10}5$，公差$\log_{10}3$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．さらに，$a_n<4$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$に対し，合成関数$f(f(f(x)))$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．

数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{ka_n}{1+3a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．ただし，$k$は正の定数とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$k=1$のとき，$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[ア]$，公差$[イ]$の等差数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ウ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(2)$k \neq 1$のとき，$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{3}{k-1}$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列となり，数列$\{a_n\}$の一般項は，$\displaystyle a_n=\frac{k-1}{3+[カ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
特に，$k=[キ]$のとき，すべての自然数$n$について$a_n$は一定の値である．

数列$1,\ 1,\ 4,\ 1,\ 4,\ 7,\ 1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 1,\ \cdots$について，次の問に答えよ．

(1)第$200$項を求めよ．
(2)初項から第$200$項までの和を求めよ．
(3)初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$5000<S_n<6000$を満たす$n$はいくつあるか．その個数を求めよ．

以下の$(1)$～$(4)$の$[$1$]$～$[$4$]$に適切な値を答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$A=e^2$とするとき，
\[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=[$1$] \]
である．
(2)$b$を正の定数，$x$を正の実数とする．方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<[$2$]$のときである．
(3)数列$\{c_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，初項$1$，公差$2$の等差数列とする．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$，$U_n=e^{T_n}$と定義する．数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$[$3$]$となる．

(4)定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$[$4$]$である．ただし，$D=\log_e 3$とする．

数列
\[ 2 \cdot 3,\ 5 \cdot 5,\ 8 \cdot 7,\ 11 \cdot 9,\ \cdots,\ a_n \cdot b_n,\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めることを考える．このとき，この数列の第$n$項$a_n \cdot b_n$が
\[ a_n \cdot b_n=\left( [ソ]n-[タ] \right) \cdot \left( [チ]n+[ツ] \right) \]
と表されるので，
\[ S_n=\frac{1}{2}n \left( [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \right) \]
を得る．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=\frac{a_n}{n+1}+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和を求めよ．

$\{a_n\}$を初項$a_1=A$，公差$d$の等差数列とする．自然数$j$と$k$に対して
\[ S(j,\ k)=\sum_{i=j}^k a_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k \]
とおく．$S(1,\ 10)=800$，$S(11,\ 20)=200$が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$j<k$とする．

(1)定数$A$と$d$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{S(n+1,\ n^2)}{n(n-1)}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の値を求めよ．

(3)$S(n+1,\ n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ．

(4)$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n a_{5i}$とおくとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(T_n)^2}{S(n+1,\ n^2)}$の値を求めよ．