「初項」について
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国立 群馬大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第1問$p,\ q$を自然数として，$p>q$とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\displaystyle S_p=\frac{p}{q}$，$\displaystyle S_q=\frac{q}{p}$が成り立つとする．次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{b_n\}$について無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和が$48$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が$\displaystyle \frac{17}{48}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{b_n\}$について無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和が$48$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が$\displaystyle \frac{17}{48}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^3+9n^2+7n$で表されるとする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$T_n$を一般項とする数列$\{T_n\}$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$T_n$を一般項とする数列$\{T_n\}$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第4問正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{100}$の値を求めよ．
(2)$a_n=6$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)正の整数$k$に対して，$a_n=2k$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(1)$a_{100}$の値を求めよ．
(2)$a_n=6$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)正の整数$k$に対して，$a_n=2k$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第3問正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{100}$の値を求めよ．また，$a_n=a_{100}$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．
(1)$a_{100}$の値を求めよ．また，$a_n=a_{100}$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第3問正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．
(1)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．
国立 愛知教育大学 2015年 第8問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n}$で定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} S_{2n}$とおくとき，$|S_{2n|-S}<0.001$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n(n+2)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{2n}$で定めるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} S_{2n}$とおくとき，$|S_{2n|-S}<0.001$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$で表すことにする．この三角形において
\[ \frac{a+b}{6}=\frac{b+c}{5}=\frac{c+a}{7} \]
であり，面積が$3 \sqrt{15}$のとき，$\cos A$と$a$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2a_n-2^n$で与えられるとき，次の問に答えよ．
(i) $a_1$を求めよ．
(ii) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(iii) 一般項$a_n$を求めよ．