「初項」について
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公立 県立広島大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$の初項を$a \neq 0$とし，初項から第$n$項までの和を
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とする．また，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2a_n+\frac{3}{2}a-S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の初項$b$を$a$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{b_n\}$も等比数列になることを示せ．
(3)数列$\{b_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{a_n\}$も等比数列になることを示せ．
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とする．また，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2a_n+\frac{3}{2}a-S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{b_n\}$の初項$b$を$a$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{b_n\}$も等比数列になることを示せ．
(3)数列$\{b_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{a_n\}$も等比数列になることを示せ．
公立 高崎経済大学 2016年 第2問ある等差数列の第$n$項を$a_n$とするとき，
\[ a_{15}+a_{16}+a_{17}=-2622,\quad a_{99}+a_{103}=-1238 \]
が成立している．次の各問に答えよ．
(1)この等差数列の初項と公差を求めよ．
(2)この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
\[ a_{15}+a_{16}+a_{17}=-2622,\quad a_{99}+a_{103}=-1238 \]
が成立している．次の各問に答えよ．
(1)この等差数列の初項と公差を求めよ．
(2)この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は初項が$4$で，$A,\ B$をある定数として
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 大分大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=n^4+6n^3+11n^2+6n \]
で表されるとする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=4n(n+1)(n+2)$であることを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を$n$の式で表しなさい．
\[ S_n=n^4+6n^3+11n^2+6n \]
で表されるとする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=4n(n+1)(n+2)$であることを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を$n$の式で表しなさい．
国立 徳島大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が次を満たす．
\[ S_n=\frac{1}{3}(2a_n+8a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
(1)$n \geqq 3$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$a_{n-2}$の式で表せ．
(2)$n \geqq 3$のとき，$a_n-2a_{n-1}$を$a_1$と$a_2$の式で表せ．
(3)$a_1=1$とする．一般項$a_n$を求めよ．
\[ S_n=\frac{1}{3}(2a_n+8a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
(1)$n \geqq 3$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$a_{n-2}$の式で表せ．
(2)$n \geqq 3$のとき，$a_n-2a_{n-1}$を$a_1$と$a_2$の式で表せ．
(3)$a_1=1$とする．一般項$a_n$を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を次の条件$(ⅰ)$および$(ⅱ)$をみたすように定める．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$50$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$50$項までの和を求めよ．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$50$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$50$項までの和を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を次の条件$(ⅰ)$および$(ⅱ)$をみたすように定める．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$2015$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$201$項までの和を求めよ．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$2015$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$201$項までの和を求めよ．
国立 九州工業大学 2015年 第2問初項$1$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，一般項が$\displaystyle b_n=\left[ \frac{2n+2}{3} \right]$で与えられる数列$\{b_n\}$がある．ここで，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．たとえば，$\displaystyle b_1=\left[ \frac{4}{3} \right]=1$，$b_2=[2]=2$，$\displaystyle b_3=\left[ \frac{8}{3} \right]=2$である．数列$\{a_n\}$を次のように，$b_1$個，$b_2$個，$b_3$個，$\cdots$の群に分け，第$k$群には$b_k$個の数が入るようにする．
$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$
第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．
(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]
$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$
第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．
(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]
国立 愛媛大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^2+4a+5$の値を求めよ．
(2)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2x-\log_2y=1 \\
x \log_2 x-y \log_2 y=0
\end{array} \right. \]
(3)$s,\ t$を実数とする．座標空間内の同一平面上にある$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ s,\ t)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 5,\ 1)$が$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$をみたすとき，$s,\ t$の値を求めよ．
(4)初項が$3$，公比が$4$である等比数列の第$k$項を$a_k$とする．このとき，$\displaystyle \sum_{k=n}^{n^2}a_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^2+4a+5$の値を求めよ．
(2)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2x-\log_2y=1 \\
x \log_2 x-y \log_2 y=0
\end{array} \right. \]
(3)$s,\ t$を実数とする．座標空間内の同一平面上にある$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ s,\ t)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 5,\ 1)$が$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$をみたすとき，$s,\ t$の値を求めよ．
(4)初項が$3$，公比が$4$である等比数列の第$k$項を$a_k$とする．このとき，$\displaystyle \sum_{k=n}^{n^2}a_k$を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．