初項$2$，公差$4$の等差数列$a_n$を
\[ \begin{array}{cccccc}
a_1 & a_2 & a_4 & a_7 & a_{11} & \cdots \\
a_3 & a_5 & a_8 & a_{12} & \cdots & \cdots \\
a_6 & a_9 & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{10} & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
とならべて，これを
\[ \begin{array}{cccccc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) & b(1,\ 3) & b(1,\ 4) & b(1,\ 5) & \cdots \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) & b(2,\ 3) & b(2,\ 4) & \cdots & \cdots \\
b(3,\ 1) & b(3,\ 2) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
b(4,\ 1) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
と表す．例えば$a_1=b(1,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)このとき，$b(1,\ 2)=[ア]$である．
(2)$1$行目の$l$番目の数は$b(1,\ l)=[イ]l^2-[ウ]l+[エ]$である．
(3)$1$行目の$1$番目の数から$1$行目の$k$番目の数までの和は
\[ \sum_{l=1}^k b(1,\ l)=\frac{[オ]k \left( k^{[カ]}+[キ] \right)}{[ク]} \]
である．
(4)$k$行目の$l$番目の数は
\[ b(k,\ l)=[ケ]k^2+[コ]l^2+[サ]kl-[シ]k-[ス]l+[セ] \]
である．
(5)$1$行目から$n$行目までの$1$番目の数から$n$番目の数までの和を$S(n)$とおく．このとき，$S(2)$は
\[ \begin{array}{cc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) \\
\end{array} \]
の和なので$S(2)=[ソタ]$である．また，$\displaystyle S(k)=\frac{k^{[チ]} ([ツ]k^2-[テ])}{[ト]}$である．

数列$\{a_n\}$に対して，
\[ b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n},\quad c_n=\frac{a_1+2a_2+\cdots +na_n}{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．このとき下記の問いに答えなさい．

(1)数列$\{a_n\}$が，初項$1$，公比$2$の等比数列のとき，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[$1$]$である．
数列$\{b_n\}$の一般項は，$b_n=[$2$]$であり，数列$\{c_n\}$の一般項は，$c_n=[$3$]$である．
(2)数列$\{b_n\}$が，初項$1$，公差$2$の等差数列のとき，数列$\{b_n\}$の一般項は，$b_n=[$4$]$である．
数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[$5$]$であり，数列$\{c_n\}$の一般項は，$c_n=[$6$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

数列$2 \cdot 1^2,\ -2 \cdot 2^2,\ 2 \cdot 3^2,\ -2 \cdot 4^2,\ 2 \cdot 5^2,\ \cdots$において，この数列の第$n$項を$a_n$，初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，以下の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$a_n$を求めよ．
(2)$n=2k$のとき，$S_n$を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．
(3)$n=2k-1$のとき，$S_n$を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$が$S_n=5^n-1$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$を求めなさい．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$が$S_n=5^n-1$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$を求めなさい．

以下の各問に答えよ．

(1)$7^x=49^{1-x}$を解け．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$のとき，$x^4+x^2$の値を求めよ．
(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^0 (2x^2-x) \, dx - \int_1^0 (2x^2-x) \, dx \]
(4)関数$y=(2x-1)(x^2+2x-1)$を微分せよ．
(5)$\displaystyle 3\log_{\frac{1}{2}}3, 2\log_{\frac{1}{2}}5, \frac{5}{2}\log_{\frac{1}{2}}4$の3数の大小を比較せよ．
(6)$\overrightarrow{a}=(1,\ -1),\ \overrightarrow{b}=(-4,\ -3)$のとき，$2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$の大きさを求めよ．
(7)初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-3n$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(8)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle |\sin \theta|<\frac{1}{2}$を解け．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表わす．

(1)すべての自然数$n$に対して，$S_n=2a_n-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$S_n=a_n+n^2-1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)$a_1=1,\ a_2=1$とし，すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$を満たす数列を$\{a_n\}$とする．このとき，すべての自然数$n$に対して，$S_n=a_{n+2}-1$および$S_n<3a_n$が成り立つことを示せ．