タグ「切断」の検索結果

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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第2問
\begin{mawarikomi}{50mm}{

(図は省略)
}
図のような$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{E}(2,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{F}(2,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体を,平面$x+y+z=a (1<a<3)$で切断したとき,その断面の面積$S$は
\end{mawarikomi}
\[ \frac{\sqrt{[$16$]}}{[$17$]} \left( [$18$][$19$]a^2+[$20$][$21$]a+[$22$][$23$] \right) \]
となる.

また,切断した断面の各頂点と$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を結んでできる角錐の体積$V$は,
\[ a=\frac{[$24$]+\sqrt{[$25$][$26$]}}{[$27$]} \]
のときに最大になる.このとき,
\[ V=\frac{[$28$][$29$]+[$30$][$31$] \sqrt{[$32$][$33$]}}{[$34$][$35$]} \]
である.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=[ア]$,$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である.
(2)高さが$1$の円錐を,頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する.体積が$2$等分されるのは,$a=[ウ]$のときである.
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である.
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$,$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$,$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると,$A+B+C=[オ]$である.
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である.
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが,円形のテーブルの周りに座る.子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある.ただし,回転して一致するものは同じ座り方とみなす.
(7)半透明のガラス板がある.光がガラス板$1$枚を通ると,その強さが$8$割に減る.光の強さが当初の$1$割未満となるのは,ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである.ただし,必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ.
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを,$\mathrm{A}$は徒歩で,$\mathrm{B}$は自転車で,同じ地点から同時にスタートし,同じ方向に回る.自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき,$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと,$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は,スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2015年 第1問
以下の問いの空欄$[ア]$~$[ケ]$に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

(1)$x$および$y$は実数とする.点$(x,\ y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき,$\displaystyle \frac{1}{2}x+y^2$の最大値は$[ア]$,最小値は$[イ]$となる.
(2)半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える.この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると,円の半径$r$の値は$[ウ]$,正$12$角形の面積は$[エ]$である.
(3)大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある.タイルは長方形で,縦と横の長さがそれぞれ$2 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$,$3 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$,$5 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$である.$15 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく,はみ出ないように貼り付けるとき,$[オ]$通りの貼り付け方が存在する.必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする.また,タイルは切断できないものとする.
(4)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$のとき,$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値は$[カ]$,$x^6+y^6$の値は$[キ]$となる.
(5)赤玉が$3$個,白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す.このとき,取り出された玉がすべて白玉となる確率は$[ク]$である.少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$[ケ]$である.
滋賀医科大学 国立 滋賀医科大学 2013年 第4問
$xy$平面において,連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
で定まる図形を$S$とする.$t$を$0<t<1$となる定数とし,$S$を直線$y=t$で$2$つの部分に切断する.$S_1$を$S$と領域$y \geqq t$の共通部分,$S_2$を$S$と領域$y \leqq t$の共通部分とする.

(1)図形$S_1,\ S_2$を描け.
(2)$S_1,\ S_2$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする.不等式
\[ \frac{(S_1 \ \text{の面積})}{(S_2 \ \text{の面積})} \geqq \frac{(V_1 \ \text{の体積})}{(V_2 \ \text{の体積})} \]
を示せ.
福島県立医科大学 公立 福島県立医科大学 2013年 第3問
$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$,$\mathrm{D}(1,\ -1,\ 0)$,$\mathrm{G}(0,\ 0,\ \sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする.正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし,$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$で,$x^2+y^2 \leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする.また,平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする.ただし,$0<a<\sqrt{2}$である.以下の問いに答えよ.

(1)$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする.$z_0$の値を求めよ.
(2)$(1)$の$z_0$について,$0<a<z_0$とする.$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ.
(3)$V$の体積を求めよ.
信州大学 国立 信州大学 2012年 第3問
下図のように,$x$軸,$y$軸,$z$軸上に辺があり,一辺の長さが3である立方体がある.点A$(0,\ 0,\ 3)$,B$(3,\ 0,\ 2)$,C$(3,\ 3,\ 1)$を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする.このとき,次の問に答えよ.\\
\setlength\unitlength{1truecm}
(図は省略)

(1)$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2)点P$(3,\ 3,\ 3)$から四角形ABCDに下ろした垂線の足をHとする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{BH}}=s \overrightarrow{\mathrm{BA}}+t \overrightarrow{\mathrm{BC}} \]
を満たす$s,\ t$を求めよ.
(3)点Pを頂点とし,四角形ABCDを底面とする四角すいの体積を求めよ.
信州大学 国立 信州大学 2012年 第1問
下図のように,$x$軸,$y$軸,$z$軸上に辺があり,一辺の長さが3である立方体がある.点A$(0,\ 0,\ 3)$,B$(3,\ 0,\ 2)$,C$(3,\ 3,\ 1)$を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする.このとき,次の問に答えよ.

\setlength\unitlength{1truecm}
(図は省略)


(1)$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2)点P$(3,\ 3,\ 3)$から四角形ABCDに下ろした垂線の足をHとする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{BH}}=s \overrightarrow{\mathrm{BA}}+t \overrightarrow{\mathrm{BC}} \]
を満たす$s,\ t$を求めよ.
(3)点Pを頂点とし,四角形ABCDを底面とする四角すいの体積を求めよ.
日本女子大学 私立 日本女子大学 2012年 第3問
点$\mathrm{H}$を中心,線分$\mathrm{BC}$を直径とする円を底面とし,点$\mathrm{O}$を頂点とする円錐を考える.ただし,線分$\mathrm{OH}$は底面に対して垂直であるとする.右側の図は円錐の表面の展開図の底面以外の部分である.左側の図のように底面に平行な平面で円錐を切断する.この切断面の円と母線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{A}$,母線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{OH}$との交点を$\mathrm{G}$とする.さらに,線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとる.左側の図で線分の長さが$\mathrm{AD}=2$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{GH}=6 \sqrt{2}$,$\mathrm{AE}=3$のとき,以下の問いに答えよ.

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ.
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと,この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ.
(3)円錐の表面上で,底面を横切らずに,点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を,この展開図を利用して求めよ.
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする.線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ.
(図は省略)
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2011年 第5問
座標空間内で点Q$(a,\ b,\ c)$を中心とする半径$r$の球を$B$とし,$B$は各座標平面と交わる位置にあるとする.$B$が$xy$平面によって切り取られる立体のうち,Qを含む方を$B_1$,切断面を$D_1$とする.また$B$が$xz$平面によって切り取られる図形のうち,Qを含む方を$B_2$,切断面を$D_2$とする.$D_1$の面積が$8\pi$,$D_2$の面積が$12\pi$,$D_1$と$D_2$が交わってできる線分の長さが4のとき,以下の問いに答えよ.

(1)$D_1,\ D_2$のそれぞれの中心と半径を$a,\ b,\ c,\ r$を用いて表せ.
(2)$b,\ c,\ r$の値を求めよ.
(3)$B_1$と$B_2$の共通部分が$yz$平面によって切り取られた切断面を$D_3$とする.$a$を動かしたときの$D_3$の面積の最大値とそのときの点Qの座標Q$(a,\ b,\ c)$を求めよ.
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「切断」とは・・・

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