整数ではない実数$x$に対して$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-[x]}$と定める．ただし，$[x]$は$l<x<l+1$を満たす整数$l$を表す．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\sqrt{2}),\ f(f(\sqrt{2}))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(2)$f(\sqrt{3}),\ f(f(\sqrt{3})),\ f(f(f(\sqrt{3})))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(3)自然数$n$に対して，$n<x<n+1$かつ$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
(4)自然数$n$を$1$つ固定する．$n<x<n+1$の範囲の$x$で，$f(x)$が整数ではなく，さらに$f(f(x))=x$を満たす$x$を大きい順に並べる．その中の$x$で$f(x)=x$を満たすものは何番目に現れるかを答えよ．

$p$と$q$は正の整数とする．$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．ただし$\alpha>\beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．ただし$\alpha^0=1$，$\beta^0=1$と定める．

(1)すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$a_n$は整数であることを示せ．
(3)自然数$n$に対し，$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする．$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき，$b_n$を$a_n$を用いて表せ．

$f(x)=\log (e^x+e^{-x})$とおく．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と$y$軸の交点の$y$座標を$b(t)$とおく．

(1)次の等式を示せ．
\[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2)$x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，
\[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \]
であることを示せ．
(4)$\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．

$f(x),\ g(x),\ h(x)$を

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)$

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$

$h(x)=\sin x$

とおく．$3$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，$y=h(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$とする．

(1)$C_2$と$C_3$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$\alpha$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)$C_1$，$C_2$，$C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．また，$\alpha=\angle \mathrm{CAB}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．

(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．

$t$は実数で$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$を満たすとする．平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$，$\mathrm{Q}(1,\ \sin t)$をとる．このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,\ y) (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(3)曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ．
(ii) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく．このとき，$\theta=\phi$を示せ．

次の問いに答えなさい．

(1)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-5|>\frac{3x-2}{2} \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_{0.5}(x+5)<2 \log_{0.5}(x-1) \]
(3)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\frac{(x-2)(x-3)}{x-1} \]
(4)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{3}{2}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} \, dx \]

第$n$項が
\[ a_n=\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される数列$\{a_n\}$がある．この数列の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$で表すとき，次の問いに答えなさい．

(1)$n \geqq 2$のとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．また，$S_{10}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle S=2 \sum_{k=8}^{70} a_k$の値を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2-2x-3}$を求めなさい．

(3)曲線$y=\sqrt{x^2-1}$の$1 \leqq x \leqq 2$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めなさい．
(4)曲線$y=xe^x+1$の$x=1$に対応する点における接線と法線の方程式を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)関数$f(x)$が
\[ f(x)=x^2+\int_0^\pi f(t) \sin t \, dt \]
をみたすとき，$f(x)$を求めなさい．
(2)等式
\[ f(x)=x^2+\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t \, dt \]
をみたす関数$f(x)$は存在しないことを示しなさい．