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国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}>0$となる$n$をすべて求めよ．
$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}>0$となる$n$をすべて求めよ．
国立 三重大学 2015年 第5問数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}>0$となる$n$をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}$が最大になる$n$を求めよ．
$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}>0$となる$n$をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}$が最大になる$n$を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第5問関数$f(x)=|x+2 \sin (x+a)+b|$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$での最大値と最小値の差は，定数$a,\ b$によらず常に$\pi$以上で，かつ$\displaystyle \left( \frac{4\pi}{3}+2 \sqrt{3} \right)$以下であることを示せ．
国立 千葉大学 2015年 第6問平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第4問関数$f(x)$と定数$a,\ b$が次の等式を満たしている．
\[ \int_0^x (x-t)f(t) \, dt=e^x+2e^{-x}-\frac{3}{2}x^2+ax+b \]
ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と定数$a,\ b$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
\[ \int_0^x (x-t)f(t) \, dt=e^x+2e^{-x}-\frac{3}{2}x^2+ax+b \]
ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と定数$a,\ b$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第5問点$\mathrm{P}(3,\ 2)$から楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$に$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，それぞれの接点の座標を$(a,\ b)$，$(c,\ d)$とする．ただし，$a<c$とする．次の問いに答えよ．
(1)接点の座標$(a,\ b)$，$(c,\ d)$を求めよ．
(2)$C$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C_0$とするとき，$C_0$と$\ell_1$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)接点の座標$(a,\ b)$，$(c,\ d)$を求めよ．
(2)$C$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C_0$とするとき，$C_0$と$\ell_1$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 岐阜大学 2015年 第5問次の問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta$を$\displaystyle \alpha,\ \beta \neq n\pi+\frac{\pi}{2}$（$n$は整数）とする．$\alpha,\ \beta$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，ある整数$k$があって，$\displaystyle \alpha+\beta=k\pi+\frac{\pi}{2}$となることを示せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{6}$とし，$t=\tan x$とおく．$\tan 3x$を$t$の式で表せ．
(3)$c$を実数とする．$\displaystyle -\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{6}$のとき，$2$曲線$y=c \tan x$と$y=\tan 3x$の共有点の個数を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta$を$\displaystyle \alpha,\ \beta \neq n\pi+\frac{\pi}{2}$（$n$は整数）とする．$\alpha,\ \beta$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，ある整数$k$があって，$\displaystyle \alpha+\beta=k\pi+\frac{\pi}{2}$となることを示せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{6}$とし，$t=\tan x$とおく．$\tan 3x$を$t$の式で表せ．
(3)$c$を実数とする．$\displaystyle -\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{6}$のとき，$2$曲線$y=c \tan x$と$y=\tan 3x$の共有点の個数を求めよ．
国立 茨城大学 2015年 第1問以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)=x^2 \sqrt{1+\log x}$の$x=e^3$における微分係数$f^\prime(e^3)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=\sin x$と$\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{x^3-8} \int_2^x t^2 \, 2^{t^2} \, dt$を求めよ．
(1)関数$f(x)=x^2 \sqrt{1+\log x}$の$x=e^3$における微分係数$f^\prime(e^3)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=\sin x$と$\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{x^3-8} \int_2^x t^2 \, 2^{t^2} \, dt$を求めよ．