「分数」について
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国立 富山大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=2 \sqrt{2}, \\
a_n>0,\quad {a_1}^{\frac{1}{n}} {a_2}^{\frac{1}{n}} \ \cdots \ {a_{n-1}}^{\frac{1}{n}} {a_n}^{\frac{2}{n}}=8 \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_2 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=a_1 a_2 \cdots a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)${10}^{k} \leqq c_{11}<{10}^{k+1}$となる整数$k$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=2 \sqrt{2}, \\
a_n>0,\quad {a_1}^{\frac{1}{n}} {a_2}^{\frac{1}{n}} \ \cdots \ {a_{n-1}}^{\frac{1}{n}} {a_n}^{\frac{2}{n}}=8 \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_2 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=a_1 a_2 \cdots a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)${10}^{k} \leqq c_{11}<{10}^{k+1}$となる整数$k$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 富山大学 2015年 第1問曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle C_2:y=2 \sin x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第2問$a$を実数とする．関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=x^2+ax+3$，$\displaystyle g(x)=f(x) f \left( \frac{1}{x} \right) (x \neq 0)$と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle t=x+\frac{1}{x} (x \neq 0)$とするとき，$g(x)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(3)$g(x) (x \neq 0)$の最小値が負となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$x \neq 0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle t=x+\frac{1}{x} (x \neq 0)$とするとき，$g(x)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(3)$g(x) (x \neq 0)$の最小値が負となるような$a$の値の範囲を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第2問関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．
(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．
国立 富山大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=2 \sqrt{2}, \\
a_n>0,\quad {a_1}^{\frac{1}{n}} {a_2}^{\frac{1}{n}} \ \cdots \ {a_{n-1}}^{\frac{1}{n}} {a_n}^{\frac{2}{n}}=8 \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_2 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=a_1 a_2 \cdots a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)${10}^{k} \leqq c_{11}<{10}^{k+1}$となる整数$k$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=2 \sqrt{2}, \\
a_n>0,\quad {a_1}^{\frac{1}{n}} {a_2}^{\frac{1}{n}} \ \cdots \ {a_{n-1}}^{\frac{1}{n}} {a_n}^{\frac{2}{n}}=8 \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_2 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=a_1 a_2 \cdots a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)${10}^{k} \leqq c_{11}<{10}^{k+1}$となる整数$k$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 群馬大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問点$\mathrm{P}(0,\ 4)$を通る傾き$\displaystyle \frac{1}{5}$の直線を$\ell$とし，曲線$y=|x(x-4)|$を$C$とする．
(1)$\ell$と$C$の第$1$象限における交点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(2)$C$と線分$\mathrm{PQ}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\ell$と$C$の第$1$象限における交点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(2)$C$と線分$\mathrm{PQ}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第4問座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．
(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$は，初項がそれぞれ$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$で与えられ，漸化式
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n+2d_n \]
を満たす．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{d}{b}$を満たす正の数とする．
(1)$\displaystyle \frac{c}{a}<\frac{c+d}{a+b}<\frac{d}{b}$が成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{c_n}{a_n}<\frac{d_n}{b_n}$が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a=2,\ b=1$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．