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国立 東京農工大学 2015年 第4問$f(x)=\cos x+\sin x-1$とする．$g(x)$は
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第1問座標平面上の$3$点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 3)$，$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( -\frac{1}{2},\ 3 \right)$に対して，点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$を以下で定める．
\[ \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_{n-1}},\quad \overrightarrow{\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}$の成分を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{Q}_{n-1}},\quad \overrightarrow{\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}$の成分を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
国立 福岡教育大学 2015年 第4問$a$を正の定数とし，曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分の面積が$\sqrt{3}-1$であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$の交点を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$の交点を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 東京農工大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$r$を$|r|<1$である実数とする．自然数$n$に対して
\[ S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1} \]
とおく．
\[ S=\lim_{n \to \infty} S_n \]
を$r$の式で表せ．ただし$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$であることを用いてよい．
(2)$n$を自然数とする．$2$人の弓道部員$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が矢を的に命中させる確率は，$\mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{4}{5}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \frac{1}{2}$である．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が的に向かってそれぞれ$n$回ずつ矢を射る．
(i) $n=1$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_1$とし，$\mathrm{A}$の射る矢が命中せずに$\mathrm{B}$の射る矢が命中する確率を$q_1$とする．$p_1+q_1$を求めよ．
(ii) $n \geqq 2$のとき，$1$回目から$(n-1)$回目まで$\mathrm{A}$の射る矢も$\mathrm{B}$の射る矢も命中せず，$n$回目に$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_n$とする．$p_n$を求めよ．
(iii) $n \geqq 2$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢は$1$回目から$n$回目まで命中せず，$\mathrm{B}$の射る矢は$1$回目から$(n-1)$回目まで命中せずに$n$回目のみ命中する確率を$q_n$とする．$q_n$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$p_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して
\[ E=\sum_{n=1}^\infty (2n-1)p_n \]
とおく．$E$の値を求めよ．
(1)$r$を$|r|<1$である実数とする．自然数$n$に対して
\[ S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1} \]
とおく．
\[ S=\lim_{n \to \infty} S_n \]
を$r$の式で表せ．ただし$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$であることを用いてよい．
(2)$n$を自然数とする．$2$人の弓道部員$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が矢を的に命中させる確率は，$\mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{4}{5}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \frac{1}{2}$である．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が的に向かってそれぞれ$n$回ずつ矢を射る．
(i) $n=1$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_1$とし，$\mathrm{A}$の射る矢が命中せずに$\mathrm{B}$の射る矢が命中する確率を$q_1$とする．$p_1+q_1$を求めよ．
(ii) $n \geqq 2$のとき，$1$回目から$(n-1)$回目まで$\mathrm{A}$の射る矢も$\mathrm{B}$の射る矢も命中せず，$n$回目に$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_n$とする．$p_n$を求めよ．
(iii) $n \geqq 2$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢は$1$回目から$n$回目まで命中せず，$\mathrm{B}$の射る矢は$1$回目から$(n-1)$回目まで命中せずに$n$回目のみ命中する確率を$q_n$とする．$q_n$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$p_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して
\[ E=\sum_{n=1}^\infty (2n-1)p_n \]
とおく．$E$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$に対して，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．また，直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{N}$，直線$\mathrm{OM}$と直線$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{AN}$と直線$\mathrm{BL}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\mathrm{OB}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RL}$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$および$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RL}$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第2問等式
\[ f(x)+\int_1^2 (x-kt) f(t) \, dt=17x-28 \cdots\cdots (*) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$k=1$のとき，$(*)$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{30}{17}$のとき，$(*)$を満たす関数$f(x)$に対して，$y=f(x)$のグラフは常にある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．
\[ f(x)+\int_1^2 (x-kt) f(t) \, dt=17x-28 \cdots\cdots (*) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$k=1$のとき，$(*)$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{30}{17}$のとき，$(*)$を満たす関数$f(x)$に対して，$y=f(x)$のグラフは常にある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第4問座標平面上の曲線$y=x^2(1-x)$を$C$とし，直線$y=-x$を$\ell$とする．数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．$\displaystyle a_1=\frac{2}{5}$とし，$x=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$における$C$の接線と$\ell$の交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき次の問に答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$0<a_{n+1}<{a_n}^2$を示せ．
(1)$n$を自然数とするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$0<a_{n+1}<{a_n}^2$を示せ．
国立 富山大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \tan \frac{5}{12} \pi$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \sqrt{n}<\tan \frac{5}{12} \pi<\sqrt{n+1}$を満たす自然数$n$を求めよ．
(1)$\displaystyle \tan \frac{5}{12} \pi$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \sqrt{n}<\tan \frac{5}{12} \pi<\sqrt{n+1}$を満たす自然数$n$を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
国立 富山大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]