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問題集 センター試験 2015年 第2問$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．
(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．
$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．
このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．
直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．
(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．
$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．
このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．
直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．
問題集 センター試験 2015年 第6問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=3$となるようにとり，辺$\mathrm{BC}$の$\mathrm{B}$の側の延長と$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円との交点で$\mathrm{B}$と異なるものを$\mathrm{E}$とする．
$\mathrm{CE} \cdot \mathrm{CB}=[アイ]$であるから，$\mathrm{BE}=\sqrt{[ウ]}$である．
$\triangle \mathrm{ACE}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AG}=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．
$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とすると
\[ \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}=\frac{[キ]}{[ク]} \cdots\cdots① \]
である．
$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{EDC}$において，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は同一円周上にあるので$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{CED}$で，$\angle \mathrm{C}$は共通であるから
\[ \mathrm{DE}=[ケ] \sqrt{[コ]} \cdots\cdots② \]
である．
$①$，$②$から，$\displaystyle \mathrm{EP}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
$\mathrm{CE} \cdot \mathrm{CB}=[アイ]$であるから，$\mathrm{BE}=\sqrt{[ウ]}$である．
$\triangle \mathrm{ACE}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AG}=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．
$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とすると
\[ \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}=\frac{[キ]}{[ク]} \cdots\cdots① \]
である．
$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{EDC}$において，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は同一円周上にあるので$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{CED}$で，$\angle \mathrm{C}$は共通であるから
\[ \mathrm{DE}=[ケ] \sqrt{[コ]} \cdots\cdots② \]
である．
$①$，$②$から，$\displaystyle \mathrm{EP}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
国立 東京大学 2015年 第1問正の実数$a$に対して，座標平面上で次の放物線を考える．
\[ C:y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a} \]
$a$が正の実数全体を動くとき，$C$の通過する領域を図示せよ．
\[ C:y=ax^2+\frac{1-4a^2}{4a} \]
$a$が正の実数全体を動くとき，$C$の通過する領域を図示せよ．
国立 東京大学 2015年 第1問以下の命題$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．
命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば，$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ．
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば，$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ．
命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば，$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ．
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば，$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ．
国立 東京大学 2015年 第3問$a$を正の実数とし，$p$を正の有理数とする．座標平面上の$2$つの曲線$y=ax^p (x>0)$と$y=\log x (x>0)$を考える．この$2$つの曲線の共有点が$1$点のみであるとし，その共有点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．必要であれば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x}=\infty$を証明なしに用いてよい．
(1)$a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ．
(1)$a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ．
国立 東京大学 2015年 第4問数列$\{p_n\}$を次のように定める．
\[ p_1=1,\quad p_2=2,\quad p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^2+1}{p_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$\displaystyle \frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$が$n$によらないことを示せ．
(2)すべての$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し，$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ．
(3)数列$\{q_n\}$を次のように定める．
\[ q_1=1,\quad q_2=1,\quad q_{n+2}=q_{n+1}+q_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$p_n=q_{2n-1}$を示せ．
\[ p_1=1,\quad p_2=2,\quad p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^2+1}{p_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$\displaystyle \frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$が$n$によらないことを示せ．
(2)すべての$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し，$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ．
(3)数列$\{q_n\}$を次のように定める．
\[ q_1=1,\quad q_2=1,\quad q_{n+2}=q_{n+1}+q_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$p_n=q_{2n-1}$を示せ．
国立 埼玉大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は初項が$4$で，$A,\ B$をある定数として
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 北海道大学 2015年 第2問$p$は$0$でない実数とし
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{1}{p}a_n-(-1)^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定まる数列$\{a_n\}$がある．
(1)$b_n=p^na_n$とする．$b_{n+1}$を$b_n,\ n,\ p$で表せ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{1}{p}a_n-(-1)^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定まる数列$\{a_n\}$がある．
(1)$b_n=p^na_n$とする．$b_{n+1}$を$b_n,\ n,\ p$で表せ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
国立 北海道大学 2015年 第1問$a$は実数とし，$2$つの曲線
\[ C_1:y=(x-1)e^x,\quad C_2:y=\frac{1}{2e}x^2+a \]
がある．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$上の点$(t,\ (t-1)e^t)$における$C_1$の接線が$C_2$に接するとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$a$の極小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
\[ C_1:y=(x-1)e^x,\quad C_2:y=\frac{1}{2e}x^2+a \]
がある．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$上の点$(t,\ (t-1)e^t)$における$C_1$の接線が$C_2$に接するとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$a$の極小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 京都大学 2015年 第3問$6$個の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が下図のように長さ$1$の線分で結ばれているとする．各線分をそれぞれ独立に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤または黒で塗る．赤く塗られた線分だけを通って点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$に至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さを$X$とする．そのような経路がない場合は$X$を$0$とする．このとき，$n=0,\ 2,\ 4$について，$X=n$となる確率を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）