関数$f(x)=\sqrt{3} \sin x-\cos x$および$g(x)=\sin x+\sqrt{3} \cos x$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$の交点の座標を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$，および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

複素数平面上で原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表すものとする．

(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．

$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$において，曲線$y=a \sin x$（$a$は定数）を$C_1$，曲線$y=\tan x$を$C_2$とする．$a>1$であるとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2-a_n}$で与えられる数列$\{a_n\}$の$a_{11}$を求めよ．

次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\tan 2x}-\sqrt{1+\tan 2x}}{x} \]

以下の$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$，$(\mathrm{C})$の真偽の組合せとして正しいものをアからクの中から選べ．

\mon[$(\mathrm{A})$] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\ \lim_{n \to \infty} b_n=+\infty$ならば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$である．
\mon[$(\mathrm{B})$] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が収束して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n \to \infty}b_n=\beta$ならば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$である．
\mon[$(\mathrm{C})$] $n \to \infty$のとき，数列$\{a_nb_n\}$が収束するならば，$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$はともに収束する．
\[ \begin{array}{lll}
\text{ア．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$真} & & \text{イ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{ウ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$真} & & \text{エ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{オ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$真} & & \text{カ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{キ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$真} & & \text{ク．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$偽}
\end{array} \]

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる．ただし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,\ 0)$，$\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ．
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ．
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として，そのグラフをかけ．

複素数平面上の点$\mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$を表す複素数をそれぞれ$z_0,\ z_1,\ z_2,\ \cdots$とする．原点$\mathrm{O}$および整数$k (k \geqq 0)$に対して$\displaystyle \angle \mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}=\frac{\pi}{2}$を満たす．また，$\angle \mathrm{P}_k \mathrm{OP}_{k+1}=\theta$とする．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$z_{k+1}$を$z_k$で表せ．
(2)$z_0=a$（$a$は正の実数）であるとき，三角形$\mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}$の面積$s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
(3)三角形の面積の和$\displaystyle A_n=\sum_{k=0}^{n-1}s_k$を$a,\ \theta$で表せ．

曲線$y=e^{-x^2}$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$とする．

(1)$\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+\alpha^6=-1$が成立することを示せ．
(2)$z=\alpha+\alpha^2+\alpha^4$とするとき，$z+\overline{z}$と$z \overline{z}$を求めよ．ここで$\overline{z}$は$z$の共役複素数である．
(3)$\alpha+\alpha^2+\alpha^4$を求めよ．