次の$[　]$をうめよ．

(1)方程式$\log_2 (5-x)=\log_8 (x^2-15)$を解くと$[　]$である．また，変数$a,\ b$が$\log_9 a=(\log_3 b)^2$をみたすとき$\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^8$の最小値は$[　]$である．
(2)$a_1=-30$，$a_{n+1}-a_n=-2n+18$で定められる数列$\{a_n\}$について，$a_n>0$である$n$の個数を求めると$[　]$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$の最大値を求めると$[　]$である．

$x \geqq 0$に対して，$\displaystyle f(x)=\int_0^{2x} |t(t-x)| \, dt-\frac{9}{2}x^2+6x+\frac{1}{2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$の$3$次式で表せ．
(2)$f(x)-a=0$が互いに異なる$3$つの実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=3$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$である．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さは$[$31$]$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$[$32$]$である．

(3)円の半径は$\displaystyle \frac{[$33$] \sqrt{[$34$]}}{[$35$]}$である．

(4)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$36$] \sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．

次の空所を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．

次の空所を埋めよ．

(1)$\log_{10}2=A$，$\log_{10}3=B$とするとき，$\log_{10}6$，$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと，$\log_{10}6=[ア]$，$\log_{10}5=[イ]$である．
また，$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから，${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい．
(2)$m,\ n$を正の整数として，分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき，すなわち，$m,\ n$が互いに素であるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ．$10$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものは$[オ]$個あり，それらの総和は$[カ]$である．
また，$62$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものの総和は$[キ]$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$a,\ b$を自然数とする．$a$を$9$で割ると$1$余り，$b$を$9$で割ると$5$余る．

(i) $a+b$を$9$で割ったときの余りは$[$1$]$である．
(ii) $ab$を$9$で割ったときの余りは$[$2$]$である．
(iii) $a^2+b^2$を$9$で割ったときの余りは$[$3$]$である．

(2)$2$つの整数$1364$と$279$の最大公約数は$[$4$]$である．
(3)$|x+2|+|x-5|=9$の解は$x=-[$5$]$または$x=[$6$]$である．
(4)分数$\displaystyle \frac{35}{37}$を小数で表したとき，小数第$50$位の数字は$[$7$]$である．

袋$\mathrm{A}$には白玉$6$個と赤玉$3$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$4$個と赤玉$2$個がそれぞれ入っている．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)袋$\mathrm{A}$から$2$個の玉を同時に取り出すとき，$2$個とも同じ色の玉が出る確率は$\displaystyle \frac{[$8$]}{[$9$]}$である．
(2)袋$\mathrm{A}$，袋$\mathrm{B}$からそれぞれ$1$個ずつ玉を取り出すとき，違う色の玉が出る確率は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(3)袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出し，色を調べてから袋$\mathrm{A}$に戻す．この試行を$4$回繰り返すとき，少なくとも$1$回は白玉が出る確率は$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
(4)袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜる．次に，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$に入っている白玉と赤玉の個数が初めと変わらない確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．

$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}$の分母を有理化せよ．$[$1$]$

$3+3 \sqrt{3}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．$[$3$]$
(2)$b$の値を求めよ．$[$4$]$

(3)$\displaystyle b+\frac{1}{b}$の値を求めよ．$[$5$]$

(4)$\displaystyle b^2+\frac{1}{b^2}$の値を求めよ．$[$6$]$