次の問いに答えよ．

(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，

$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．

$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ -1)$を通る平面$\alpha$に対して，以下の問に答えよ．

(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．

$\displaystyle y=\log_{\frac{1}{2}}(x+\sqrt{2}) (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$の値域を求めなさい．

$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{H}$を$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$となるようにとる．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$であり，$\displaystyle \mathrm{HC}=\frac{\sqrt{[エ]}-\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．

$|\overrightarrow{a|}=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{b|}=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$のとき，$|\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$である．ただし，$t$は実数とする．

大小$2$個のさいころを投げる試行において，大のさいころの出た目を$x$，小のさいころの出た目を$y$とする．$y \geqq x+3$のとき$1$点，$(x-2)^2+(y-2)^2 \leqq 2$のとき$2$点の得点が入り，それ以外のとき得点が入らないものとする．

$1$回の試行で得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ]}$である．
$3$回の試行で合計$4$点以上の得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$である．

条件$\displaystyle a_1=\frac{2}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{2n+7}{6} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$がある．このとき，$\displaystyle a_n=\frac{[ア]}{n^2+[イ]n+[ウ]}$であり，$\displaystyle \sum_{n=1}^{16} a_n=\frac{[エ][オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

座標空間に$5$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ t)$，$\mathrm{D}(8,\ 4,\ 1)$，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$がある．ただし，$t$は正の実数とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．この平面$\mathrm{ABC}$と直線$\mathrm{OD}$が直交するとき，$t=[ア]$であり，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[イ]}{[ウ][エ]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$である．

次の$2$つの定積分を求めると，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin 3x \, dx=[ア],\quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} tx^2 \sin x \, dx=\left( \pi-[イ] \right)t \]
であり，定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left\{ 3 \sin 3x-tx^2 \sin x+(t-1)^2 \right\} \, dx$の最小値は
\[ -\frac{[ウ]}{[エ]} \pi-\frac{[オ]}{\pi}+[カ] \]
である．ただし，$t$は実数とする．

次の空欄を適当に補え．

(1)$1$から$210$までの自然数で，$3$の倍数でも$5$の倍数でもない自然数の個数は，$[ア]$個ある．
(2)$a>0$で，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}=3$であるとき，$\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}=[イ]$である．
(3)赤球$6$個，白球$3$個，青球$2$個が入っている袋から$3$個の球を同時に取り出す．取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は，$[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \tan \frac{5}{4} \pi$の値は$[エ]$で，$\displaystyle \tan \frac{5}{8} \pi$の値は$[オ]$である．