$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分はそれぞれ$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$である．線分$\mathrm{AB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{BO}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<\cos \theta<\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$t$の値の範囲は$\displaystyle 0<t<\frac{[ア]}{[イ]}$である．

数列$\{a_n\}$は，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$で次の等式を満たしている．
\[ n \cdot a_1+(n-1) \cdot a_2+(n-2) \cdot a_3+\cdots +2 \cdot a_{n-1}+1 \cdot a_n=\frac{n-4}{10}+\frac{2}{n+5} \]
このとき，
\[ \lim_{n \to \infty} (a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n)=\frac{[オ]}{[カキ]} \]
であり，
\[ \lim_{n \to \infty} \biggl\{ 2 \cdot a_1+5 \cdot a_2+8 \cdot a_3+\cdots +(3n-4) \cdot a_{n-1}+(3n-1) \cdot a_n \biggr\}=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
である．

曲線$y^2=(x-1)^2(2x-x^2)$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

$2$つの変量をもつ$100$個のデータ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$，$\cdots$，$(x_{100},\ y_{100})$が，
\[ \sum_{i=1}^{100} {x_i}^2=500,\quad \sum_{i=1}^{100} {y_i}^2=900,\quad \sum_{i=1}^{100} x_iy_i=500 \]
を満たす場合を考える．$\displaystyle X=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i$および$\displaystyle Y=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} y_i$とするとき，点$(X,\ Y)$の存在範囲は不等式$\displaystyle \frac{(Y-X)^2}{[シ]}+\frac{X^2}{[ス]} \leqq 1$の表す領域である．また，$|X+Y|$のとり得る値の範囲は$0 \leqq |X+Y| \leqq [セ] \sqrt{[ソ]}$である．

$2$次方程式$\displaystyle (\log_4 a-1)x^2+(\log_2 a-2)x+\log_4 \frac{1}{a}=0$について，以下の設問に答えよ．

(1)この方程式が異なる$2$つの実数解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)この方程式が異なる$2$つの負の解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．

曲線$\displaystyle y=|x^2-\displaystyle\frac{7|{2}x}+\frac{3}{2}x$を$C$とするとき，以下の設問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形を$xy$平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の$x=2$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)任意の正の数$t$に対して，座標平面上の$3$点$\mathrm{P}_t(3-t,\ 6+2t)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 6)$を頂点とする三角形$\mathrm{P}_t \mathrm{OA}$を考える．$\angle \mathrm{P}_t \mathrm{OA}=\theta_t$とすれば，
\[ \lim_{t \to \infty} \cos \theta_t=\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$a$を正の定数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+ax+4a=0$の$1$つの解が他の解の$4$倍であるとき，
\[ a=[ウエ] \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が条件
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1 \quad \text{かつ} \quad |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=\frac{25}{44} \]
をみたすとする．ベクトル$\overrightarrow{c}$が正の数$t$を用いて
\[ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
と表され，かつ$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5}$であるならば
\[ t=\frac{[アイ]}{[ウ]} \]
である．
(2)座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{4}{5}x^2$と円$C_2:x^2+(y-a)^2=a^2$（$a$は正の定数）が$3$つの共有点をもつような$a$の値の範囲は
\[ a>\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．

$a$を実数の定数とし，関数
\[ f(x)=|2x^3-x^2-ax-36| \]
を考える．関数$f(x)$は$x=p$で微分可能で，かつ$f(p)=0$であるとする．このとき
\[ p=[アイ],\quad a=[ウエ] \]
であり，かつ関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[オ]}{[カ]}$では微分可能でない．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1-x+x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形を$F$とする．

(1)図形$F$の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \pi \]
である．
(2)図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[エ] \sqrt{[オ]}}{[カキ]} \pi^2+\frac{[ク]}{[ケ]} \pi \]
である．