実数$A,\ B$に対して方程式$x^2-Ax+B=0$の解を$p,\ q$とする．ただし$B \neq 0$とする．

(1)自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき，$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ．
(3)$\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき，$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ．

累乗根，対数，三角関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を簡単にせよ．
\[ \begin{array}{lll}
① \sqrt[8]{16^2} & & ② \sqrt[3]{4} \div \sqrt{8} \times \sqrt[4]{32} \\
③ \log_3 81 & & ④ (\log_23+\log_49)(\log_34+\log_92)
\end{array} \]
(2)$0^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}-\frac{1}{\sin \theta}=\sqrt{3}$であるとする．

\mon[$(2$-$1)$] $x=\sin \theta \cos \theta$とするとき，$x$に関する$2$次方程式を求めよ．
\mon[$(2$-$2)$] $\sin \theta \cos \theta$の値を求めよ．
\mon[$(2$-$3)$] 次の値を求めよ．
\[ ① \sin \theta \qquad ② \tan \theta \]
\mon[$(2$-$4)$] 次の式の値を求めよ．
\[ ① \frac{1}{\cos {60}^\circ}-\frac{1}{\sin {60}^\circ} \qquad ② \frac{1}{\cos {75}^\circ}-\frac{1}{\sin {75}^\circ} \]

直線$\ell$と$m$が

直線$\ell$：$y=2x$
直線$m$：点$(2,\ 2)$を通る傾き$a$の直線（ただし，$a<0$）

と与えられているとき，以下の問題に答えよ．

(1)直線$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{A}$としたとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)直線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$としたとき，点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$としたとき，三角形$\mathrm{AOB}$の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の値が$\displaystyle \frac{9}{2}$のとき直線$m$の傾き$a$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=|x| \left( \frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x \right)-\frac{3}{4}x^2+1 \]
に対し，以下の設問に答えよ．

(1)$a<0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f^\prime(a)$を求めよ．
(2)$b>0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=b$における微分係数$f^\prime(b)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の区間$-2 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．

平面上の四角形$\mathrm{OABC}$について，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \mathrm{OC}=\frac{\sqrt{7}}{3}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立っているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の$[　]$をうめよ．

$\mathrm{CB}=[$1$]$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[$2$]$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は$[$3$]$度である．
$t>0$とし，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{P}$とおくと，$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$4$] \overrightarrow{b}$と書ける．
$\triangle \mathrm{OPD}$の重心$\mathrm{G}$が$\triangle \mathrm{OAB}$の内部または周上にあるような$t$の範囲は$0<t \leqq [$5$]$である．また，$\triangle \mathrm{OPD}$の外心を$\mathrm{R}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{a}$が垂直であり，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{b}$も垂直であることから，$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[$7$] \overrightarrow{a}+[$8$] \overrightarrow{b}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|=[$9$]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha^2+\beta^2=[$1$]$であり，さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=[$2$]$である．
(2)$xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$，$(2,\ 4)$，$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより，それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする．このとき，$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$[$3$]$である．
(3)$n$は自然数とする．$(x+y+1)^n$を展開したとき，$xy$の項の係数は$90$であった．このときの$n$の値は$[$4$]$である．
(4)$-1<x$において，関数$f(x)$は
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \]
で定義されている．$f(x)$を求めると，ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる．このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$[$5$]$である．
(5)$i=\sqrt{-1}$とする．複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して，$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$[$6$]$である．
(6)$0<x \leqq \pi$とする．方程式
\[ \sin 3x+\sin x=\cos x \]
の解$x$をすべて求めると$[$7$]$である．

不等式
\[ 19200<19683=3^9<20000<20480=2^{11} \cdot 10 \]
を利用して，以下の設問に答えよ．ただし，$x=\log_{10}2$，$y=\log_{10}3$とする．

(1)$\log_{10}19200$の値を$x$と$y$で表せ．
(2)$x$と$\displaystyle \frac{3}{10}$の大小を比較せよ．

(3)$y$と$\displaystyle \frac{11}{23}$の大小を比較せよ．

次の問いの答を記入せよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=4$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定義域が$0 \leqq x \leqq 3$である$2$次関数$y=-ax^2+2ax+b$の最大値が$3$で，最小値が$-5$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(4)$3$つの数$x-2,\ x+1,\ x+7$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めよ．
(5)白玉$3$個，赤玉$2$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し色を確認してからもとに戻す．この操作を$3$回続けて行う．$1$回目に白，$2$回目に赤，$3$回目に赤の玉が取り出される確率を求めよ．ただし，どの玉も取り出される確率は等しいとする．
(6)関数$y=x^3-12x$の区間$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(7)次の条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f^\prime(x)=6x^2-2x+3 \\
f(1)=7
\end{array} \right. \]

関数
\[ f(x)=\frac{5}{8}x^2+|x| \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}x \right) \]
に対し，$xy$平面上のグラフ$C:y=f(x)$を考える．$a$を正の実数とし，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ -a^2)$から$C$に$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{S}(s,\ f(s))$とする．$s<0$のとき，$a$を用いて$s$を表せ．
(2)$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{T}(t,\ f(t))$とする．$t>0$のとき，$a$を用いて$t$を表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するような$a$の値を求めよ．

空間内の四面体$\mathrm{OABC}$について，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=3 \sqrt{2}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{9}{2}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{11}{2}$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$とする．このとき以下の$[$1$]$から$[$9$]$に該当する数値を答えなさい．

$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[$1$]$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=[$2$]$であり，また，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[$3$]$である．
$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，
$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=[$4$] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[$5$] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．
$\triangle \mathrm{OAC}$の重心$\mathrm{G}$と点$\mathrm{B}$を結ぶ線分が$\triangle \mathrm{OAD}$と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき，
$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=[$7$] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[$8$] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[$9$] \overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．
なお，この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{p}$は，実数$s,\ t,\ u$を用いて，
$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$
の形に表すことができ，しかも，表し方はただ$1$通りである．