$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{6},\ b=\tan \frac{\pi}{12}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$x$を実数（ただし$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{4}$）とするとき，$\tan 2x$を$\tan x$の式で表せ．
(2)$a$と$b$の大小を，理由をつけて答えよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}$が$\displaystyle f(a)=\frac{1}{2},\ f(b)=\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ a=\frac{1}{2} \log_{10} [　],\quad b=\frac{1}{2}(\log_{10} [　]-\log_{10} [　]) \]
であり，$f(a+b)$の値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(2)関数$f(x)=2^{-3x}-9 \cdot 2^{-2x}+24 \cdot 2^{-x}-20$は$\displaystyle -2 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$において最小値$-[　]$，最大値$[　]$をとる．

放物線$y=x^2+1$を$C_1$，放物線$y=-x^2+6x-8$を$C_2$として次の問いに答えよ．

(1)点$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ [　] \right)$に関して，$C_1$と$C_2$は対称である．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する$2$つの接線のうち，$x$軸と交わらない方を$\ell_1$，$x$軸と交わる方を$\ell_2$とすると，$\ell_1$の方程式は$y=[　]$，$\ell_2$の方程式は$y=[　] x-[　]$である．
(3)$C_1$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を

$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$

$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$

として次の問いに答えよ．

(1)各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{[　] n+[　]}{n(n+1)(n+2)}$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ S_n=\frac{[　] n}{n+1},\quad T_n=\frac{[　] n^2+[　] n}{(n+1)(n+2)} \]
である．
(3)$\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$[　]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{5}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{5}{3^3}+\cdots$の和を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x+1) \sin 4x \, dx$を求めよ．

正の定数$k$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{x^3}{3}$の接線で傾きが$k^2$のものを$\ell_1,\ \ell_2$とする．$C$と$\ell_1,\ \ell_2$の接点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ，第$1$，第$3$象限にあるとする．また，$C$と$\ell_1$との共有点のうち，$\mathrm{P}$でないものを$\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$k$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた図形の面積$T$を$k$で表せ．
(3)$(2)$で求めた$T$が，$T<1$をみたすような$k$の値の範囲を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$3$つの数$a,\ a+6,\ 2a+17$がこの順に等比数列となるような$a$の値をすべて求めよ．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{1-x^2}<(2 \sqrt{2})^{x-1}$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)方程式$\sin^2 x+2 \cos^2 x+3 \cos x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$をみたす$x$を求めよ．
(4)曲線$y=x^3-3x^2+k$が$x$軸と異なる$3$点で交わるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 |x-1|(3x+1) \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ．ただし，$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である．
(2)自然数$n$に対して，$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする．$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて，$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ．また，それを用いて，$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ．

放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(b,\ b^2) (a<b)$を考える．$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$から$x$軸に下ろした垂線と$C$との交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{MQH}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．