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私立 津田塾大学 2016年 第4問\begin{mawarikomi}{68mm}{
（図は省略）
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある．点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ，すべらずに転がっている．円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする．
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し，同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた．その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする．
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．
（図は省略）
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある．点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ，すべらずに転がっている．円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする．
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し，同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた．その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする．
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．
私立 津田塾大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ．
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$，$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る．$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ．
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$，$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る．$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問$(3)$に答えなさい．
時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．
(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．
(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．
(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．
このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．
(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．
このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．
時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．
(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．
(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．
(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．
このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．
(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．
このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．
私立 京都薬科大学 2016年 第3問次の$[ ]$にあてはまる式を記入せよ．
空間の異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に対して，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$k:l$に内分する点を$\mathrm{C}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{a}+[イ] \overrightarrow{b} \]
と表される．また，線分$\mathrm{AB}$を$m:n (m>n)$に外分する点を$\mathrm{D}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=[ウ] \overrightarrow{a}+[エ] \overrightarrow{b} \]
と表される．さらに，$pm-qn \neq 0$をみたす正の数$p,\ q$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}=p \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=q \overrightarrow{b}$をみたす$2$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$をとり，直線$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$がそれぞれ直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$と交わる点を$\mathrm{C}^\prime$，$\mathrm{D}^\prime$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}^\prime}$はそれぞれ
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}=[オ] \overrightarrow{a}+[カ] \overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}^\prime}=[キ] \overrightarrow{a}+[ク] \overrightarrow{b} \]
と表される．よって，$\mathrm{C}^\prime$は線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$を$[ケ]:[コ]$に内分する点で，$\mathrm{D}^\prime$は線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$を$[サ]:[シ]$に外分する点である．
ここで，点$\mathrm{C}$が線分$\mathrm{AB}$を内分する比の値$\displaystyle \frac{k}{l}$と，点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$を外分する比の値$\displaystyle \frac{m}{n}$について，これら$2$つの比の商を
\[ c(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C},\ \mathrm{D})=\frac{\displaystyle\frac{k}{l}}{\displaystyle\frac{m}{n}}=\frac{kn}{lm} \]
とおくとき，点$\mathrm{C}^\prime$が線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$を内分する比の値と点$\mathrm{D}^\prime$が線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$を外分する比の商$c(\mathrm{A}^\prime,\ \mathrm{B}^\prime,\ \mathrm{C}^\prime,\ \mathrm{D}^\prime)$は，$k,\ l,\ m,\ n$を用いると$[ス]$と表せる．
空間の異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に対して，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$k:l$に内分する点を$\mathrm{C}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ア] \overrightarrow{a}+[イ] \overrightarrow{b} \]
と表される．また，線分$\mathrm{AB}$を$m:n (m>n)$に外分する点を$\mathrm{D}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=[ウ] \overrightarrow{a}+[エ] \overrightarrow{b} \]
と表される．さらに，$pm-qn \neq 0$をみたす正の数$p,\ q$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}=p \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=q \overrightarrow{b}$をみたす$2$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$をとり，直線$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$がそれぞれ直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$と交わる点を$\mathrm{C}^\prime$，$\mathrm{D}^\prime$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}^\prime}$はそれぞれ
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}=[オ] \overrightarrow{a}+[カ] \overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}^\prime}=[キ] \overrightarrow{a}+[ク] \overrightarrow{b} \]
と表される．よって，$\mathrm{C}^\prime$は線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$を$[ケ]:[コ]$に内分する点で，$\mathrm{D}^\prime$は線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$を$[サ]:[シ]$に外分する点である．
ここで，点$\mathrm{C}$が線分$\mathrm{AB}$を内分する比の値$\displaystyle \frac{k}{l}$と，点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$を外分する比の値$\displaystyle \frac{m}{n}$について，これら$2$つの比の商を
\[ c(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C},\ \mathrm{D})=\frac{\displaystyle\frac{k}{l}}{\displaystyle\frac{m}{n}}=\frac{kn}{lm} \]
とおくとき，点$\mathrm{C}^\prime$が線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$を内分する比の値と点$\mathrm{D}^\prime$が線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$を外分する比の商$c(\mathrm{A}^\prime,\ \mathrm{B}^\prime,\ \mathrm{C}^\prime,\ \mathrm{D}^\prime)$は，$k,\ l,\ m,\ n$を用いると$[ス]$と表せる．
私立 青山学院大学 2016年 第1問小数第$1$位までで表される正数$X,\ Y$に対して，$m,\ n$を
\[ X-0.4 \leqq m \leqq X+0.5,\quad Y-0.4 \leqq n \leqq Y+0.5 \quad \cdots \quad ① \]
を満たす$0$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$X=2.6$のとき$m=[$1$]$であり，$Y=4.3$のとき$n=[$2$]$である．
(2)関係式$①$を満たす$X,\ Y,\ m,\ n$に対して，さらに関係式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
5X-4Y=22.2 & \cdots & ② \\
2m+3n=26 & \cdots & ③
\end{array} \right. \]
が成立するという．$X,\ Y,\ m,\ n$を求めよう．
関係式$③$を満たす$0$以上の整数$m,\ n$のうちで，対応する$X,\ Y$が関係式$②$を満たすのは$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．このとき，
\[ X=[$3$]+\frac{x}{10},\quad Y=[$4$]+\frac{y}{10} \]
とすると，$5x-4y=[$5$][$6$]$が成り立つ．
以上のことから，$x=[$7$]$，$y=[$8$][$9$]$となる．
\[ X-0.4 \leqq m \leqq X+0.5,\quad Y-0.4 \leqq n \leqq Y+0.5 \quad \cdots \quad ① \]
を満たす$0$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$X=2.6$のとき$m=[$1$]$であり，$Y=4.3$のとき$n=[$2$]$である．
(2)関係式$①$を満たす$X,\ Y,\ m,\ n$に対して，さらに関係式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
5X-4Y=22.2 & \cdots & ② \\
2m+3n=26 & \cdots & ③
\end{array} \right. \]
が成立するという．$X,\ Y,\ m,\ n$を求めよう．
関係式$③$を満たす$0$以上の整数$m,\ n$のうちで，対応する$X,\ Y$が関係式$②$を満たすのは$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．このとき，
\[ X=[$3$]+\frac{x}{10},\quad Y=[$4$]+\frac{y}{10} \]
とすると，$5x-4y=[$5$][$6$]$が成り立つ．
以上のことから，$x=[$7$]$，$y=[$8$][$9$]$となる．
私立 青山学院大学 2016年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しており，$4$辺の長さが
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である．
(1)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと，$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから
\[ \mathrm{BD}=[$10$] \sqrt{[$11$]},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{[$12$]}}{[$13$][$14$]} \]
となる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[$15$]$である．
(2)$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$16$],\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$17$] \]
である．したがって，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{[$18$]}{[$19$][$20$]} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{[$21$][$22$]}{[$23$][$24$]} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \]
である．
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である．
(1)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと，$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから
\[ \mathrm{BD}=[$10$] \sqrt{[$11$]},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{[$12$]}}{[$13$][$14$]} \]
となる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[$15$]$である．
(2)$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$16$],\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$17$] \]
である．したがって，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{[$18$]}{[$19$][$20$]} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{[$21$][$22$]}{[$23$][$24$]} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \]
である．
私立 青山学院大学 2016年 第4問正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．時刻$0$で点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとにそのときにいる頂点から辺で結ばれた他の$2$頂点にそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で，辺で結ばれていない頂点に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で移動する．$n \geqq 1$に対して，$n$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$とする．
(1)$a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1},\ d_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を用いて表せ．
(3)$a_n+c_n$の値を求めよ．
(4)$p_n=a_n-c_n$とおくとき，$p_n$を$n$を用いて表せ．
(5)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(1)$a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1},\ d_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を用いて表せ．
(3)$a_n+c_n$の値を求めよ．
(4)$p_n=a_n-c_n$とおくとき，$p_n$を$n$を用いて表せ．
(5)$a_n$を$n$を用いて表せ．
私立 倉敷芸術科学大学 2016年 第3問$\theta$が第$1$象限の角で$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4$のとき，$\sin \theta+\cos \theta$の値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2016年 第5問放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+2x+9$について，次の設問に答えよ．
(1)頂点および$x$軸，$y$軸との交点の座標を求め，放物線の概形を描け．
(2)第$1$象限の放物線と$x$軸，$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)頂点および$x$軸，$y$軸との交点の座標を求め，放物線の概形を描け．
(2)第$1$象限の放物線と$x$軸，$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第4問$c$を$0<c<1$を満たす実数とする．関数
\[ F(x)=\int_0^x (t-c) \log \left( t^2-t+\frac{1}{2} \right) \, dt \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)$F^\prime(x)<0$となる$x$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(3)$F(x)$が極大値をとる$x$の値と極小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき，$x \geqq 0$の範囲における$F(x)$の最小値を求めよ．
\[ F(x)=\int_0^x (t-c) \log \left( t^2-t+\frac{1}{2} \right) \, dt \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)$F^\prime(x)<0$となる$x$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(3)$F(x)$が極大値をとる$x$の値と極小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき，$x \geqq 0$の範囲における$F(x)$の最小値を求めよ．