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国立 東京大学 2016年 第1問$e$を自然対数の底，すなわち$\displaystyle e=\lim_{t \to \infty} \left( 1+\frac{1}{t} \right)^t$とする．すべての正の実数$x$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x<e<\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x+\frac{1}{2}} \]
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x<e<\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x+\frac{1}{2}} \]
国立 名古屋工業大学 2016年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$のグラフを曲線$C$とする．
(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする．曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする．曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{(3n+4)a_n-9n-6}{(n+1)a_n-3n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．
(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>3$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3}$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ．
(3)$(2)$で定めた数列$\{b_n\}$に対し$c_n=b_{n+1}-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{(3n+4)a_n-9n-6}{(n+1)a_n-3n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．
(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>3$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3}$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ．
(3)$(2)$で定めた数列$\{b_n\}$に対し$c_n=b_{n+1}-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第5問$k$を正の整数とし，$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．
(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．
(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．
国立 名古屋工業大学 2016年 第4問実数$t$に対し，複素数
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$，虚部を$g(t)$とする．座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある．
(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$，虚部を$g(t)$とする．座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある．
(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 岡山大学 2016年 第1問複素数$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$について，以下の問いに答えよ．
(1)$\omega^2+\omega^4$，$\omega^5+\omega^{10}$の値を求めよ．
(2)$n$を正の整数とするとき，$\omega^n+\omega^{2n}$の値を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，
\[ (\omega+2)^n+(\omega^2+2)^n \]
が整数であることを証明せよ．
(1)$\omega^2+\omega^4$，$\omega^5+\omega^{10}$の値を求めよ．
(2)$n$を正の整数とするとき，$\omega^n+\omega^{2n}$の値を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，
\[ (\omega+2)^n+(\omega^2+2)^n \]
が整数であることを証明せよ．
国立 岡山大学 2016年 第3問ひとつのサイコロを$3$回振り，出た目を順に$u,\ v,\ w$とする．そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．
国立 岡山大学 2016年 第4問関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
国立 岡山大学 2016年 第2問関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．