次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

$f(x)$はすべての係数が整数であるような$3$次多項式で，$x^3$の係数が$1$であり，
\[ \frac{-\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{2} \sqrt{3}i}{2} \]
は方程式$f(x)=0$の解の$1$つであるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，
\[ f(x)=x^3+[チ]x^2+[ツ]x-[テ] \]
であり，$f(x)=0$の実数解は${[ト]}^{\frac{1}{3}}-[ナ]$である．

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$P(x)=ax^2+bx+c$とする．
$\{P(x)\}^5-x$が$(x-1)(x-2)(x-3)$で割り切れるとき，

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}\left( 3^{\frac{\mkakko{ニ}}{\mkakko{ヌ}}}-2^{\frac{\mkakko{ネ}}{\mkakko{ノ}}}+[ハ] \right)$
(2)$\displaystyle b=-\frac{1}{2} \cdot 3^{\frac{\mkakko{ヒ}}{\mkakko{フ}}}+2^{\frac{[ヘホ]}{\mkakko{マ}}}-\frac{[ミ]}{[ム]}$
(3)$\displaystyle c=3^{\frac{\mkakko{メ}}{\mkakko{モ}}}-[ヤ] \cdot 2^{\frac{\mkakko{ユ}}{\mkakko{ヨ}}}+[ラ]$

である．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(x^3-3x^2-9x+3)$とする．

(1)関数$f(x)$は，$x=[テ]$で極大値$[ト]$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y$軸との交点における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[ヌ]}{[ネ]}x+\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．
(3)実数からなる集合
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0 \},\quad B=\{x \;|\; x \geqq b\} \]
を考える．ただし，$b$は整数とする．

(i) $A \subset B$となる最大の整数$b$は$[ヒ]$である．
(ii) $B \subset A$となる最小の整数$b$は$[フ]$である．
(iii) $b \in A$であり，$B \subset A$とならない整数$b$は$[ヘ]$個ある．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=a \sin 2x-\sin x+\cos x \]
とする．ただし，$a$を負の実数とする．

(1)$t=-\sin x+\cos x$とおくと，$f(x)$は$t$を用いて
\[ [ア]at^2+[イ]t+[ウ]a \]
と表される．
(2)$f(x)$は，$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]}<a<0$のとき，


最大値$[キ]a+\sqrt{[ク]}$
最小値$[ケ]a+[コ] \sqrt{[サ]}$


をとり，$\displaystyle a \leqq \frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]}$のとき，


最大値$[シ]a+\sqrt{[ス]}$
最小値$\displaystyle [セ]a+\frac{1}{[ソ]a}$


をとる．

次の$[あ]$～$[お]$に当てはまるものを，下の選択肢から選べ．

(1)$\displaystyle x=-\frac{2}{3}$は$3x^2-13x-10=0$であるための$[あ]$
(2)$n$を自然数とする．$n^2$が$5$の倍数であることは，$n$が$5$の倍数であるための$[い]$
(3)$a,\ b$を自然数とする．$(a+b)^2$が奇数であることは，$ab$が偶数であるための$[う]$
(4)平面上の異なる$2$つの円$C$，$C^\prime$の半径をそれぞれ$r$，$r^\prime$とし，中心間の距離を$d$とする．ただし，$r<r^\prime$とする．このとき，$C$と$C^\prime$が共有点をもたないことは，$d>r+r^\prime$であるための$[え]$
(5)$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{CD}=4$となる点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=3$となる点$\mathrm{E}$をとる．このとき，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{F}$に対して，$\mathrm{AF}=3$であることは，$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が一直線上にあるための$[お]$
選択肢：

\mon[$①$] 必要条件であるが十分条件ではない．
\mon[$②$] 十分条件であるが必要条件ではない．
\mon[$③$] 必要十分条件である．
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない．

$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．

(1)$\mathrm{AC}=[ア]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[イ] \sqrt{[ウ]}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\sqrt{[エ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \sqrt{[キ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=3$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{CD}=[ク]$である．
(4)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{[ケ]}{[コ]}$，$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{[サ]}{[シ]}$である．
(5)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AED}=\frac{[ス]}{[セ]}$である．

$a$を$-1$でない実数とし，座標平面において，放物線
\[ C:y=(x^2-2x+1)+a(x^2-5x+6) \]
を考える．

(1)$C$は，$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}([ソ],\ [タ])$，$\mathrm{Q}([チ],\ [ツ])$を必ず通る．ただし，$[ソ]<[チ]$とする．
(2)点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell^\prime$とする．$\ell$と$\ell^\prime$の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[テ]}{[ト]},\ \frac{[ナ]}{[ニ]}a+[ヌ] \right)$である．

(3)$C$の軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2} \left( [ネ]+\frac{[ノ]}{a+[ハ]} \right)$である．

(4)$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは

$a<[ヒ]$ \ または \ $[フ]<a$ \quad （ただし$a \neq -1$）

のときである．
(5)$a=[フ]$のとき，$C$は点$\displaystyle \left( \frac{[ヘ]}{[ホ]},\ 0 \right)$で$x$軸と接する．
(6)$C$が$x$軸と$2$点$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0)$（ただし$\alpha<\beta$）で交わるとき，$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{5}$となるのは，$a=[マ]$または$\displaystyle a=\frac{[ミ]}{[ム]}$のときである．ただし，$\displaystyle [マ]<\frac{[ミ]}{[ム]}$とする．$a=[マ]$のとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．

$A,\ B$は共に実数を成分とする$2$次の正方行列で，条件
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
4 & -1 \\
-6 & 3
\end{array} \right),\quad A^{-1}B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{6} & \displaystyle\frac{1}{3} \\
-\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right) \]
を満たすものとする．

(1)$B^{-1}A=\left( \begin{array}{cc}
\mkakko{ア} & -\mkakko{イ} \\
\mkakko{ウ} & -\mkakko{エ}
\end{array} \right)$である．

(2)$A^2=\left( \begin{array}{cc}
\mkakko{オ} & -\mkakko{カ} \\
\mkakko{キ} & \mkakko{ク}
\end{array} \right)$である．

(3)条件を満たす$A$は以下の$4$つである．
\[ A=\pm \left( \begin{array}{cc}
\mkakko{ケ} & -\displaystyle\frac{\mkakko{コ}}{\mkakko{サ}} \\
\mkakko{シ} & \mkakko{ス} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right),\quad \pm \left( \begin{array}{cc}
\mkakko{セ} & \mkakko{ソ} \\
\mkakko{タ} & -\mkakko{チ} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right) \]

平面上に同一直線上にない$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が与えられているとし，$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+7 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしているとする．線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と線分$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BP}$を延長した直線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．


(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ][ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[エ]}{[オ][カ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[キ]:[ク]$に内分する点であり，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ケ]:[コ]$に内分する点である．
(3)$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$S$，四角形$\mathrm{CQPR}$の面積を$T$とおくと，
\[ S:T=[サ]:[シ][ス] \]
である．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \cos (2\pi x) \, dx,\quad b_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \sin (2\pi x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより，
\[ a_n=-\frac{\pi}{[ア]}b_n \]
がわかる．
一方，$b_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより，
\[ b_n=\frac{\pi}{[イ]}a_n-\frac{e^{\mkakko{ウ}}+[エ]}{[オ]e^{\mkakko{カ}n+\mkakko{キ}}} \]
がわかる．
これらの関係式より，$a_n$は
\[ a_n=\frac{\pi \left( e^{\mkakko{ク}}+[ケ] \right)}{[コ] \left( \pi^{\mkakko{サ}}+[シ] \right) e^{\mkakko{ス}n+\mkakko{セ}}} \]
となることがわかる．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和は$\displaystyle \frac{\pi}{[ソ] \left( \pi^{\mkakko{タ}}+[チ] \right) \left( e^{\mkakko{ツ}}-e \right)}$となる．