空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．

関数$\displaystyle f(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x-ax)^2 \, dx$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$がある．正の実数$t$に対して点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，$\angle \mathrm{BPA}=\theta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)$\tan \theta$を$t$で表せ．
(2)$\theta$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を定数で$a \neq 0$であるものとし，曲線$y=ax^3+bx^2+cx+d$と直線$y=2x-1$は，$x$座標が$2$である点で接し，$x$座標が$-1$である点で交わるものとする．

(1)$b,\ c,\ d$を$a$で表せ．
(2)これらの曲線と直線で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとき，$a$の値を求めよ．

$a$を実数とする．関数$f(x)=x^3-ax$を考える．次の設問に答えよ．

(1)$f(x)$が区間$-1<x<1$において極値をとるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の区間$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値が$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$a$の値をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=\sqrt{3} \cos^2 \theta+(1-\sqrt{3}) \cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$の最大値，最小値を求めよ．ただし，最大値，最小値をとる$\theta$の値は求めなくてよい．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2-4}$の和を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$が，すべての$x$に対して$f^{\prime\prime}(x) \leqq 0$を満たすとする．このとき，

$(*)$ \quad $x_1<x_2<x_3$に対して $\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \geqq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$
が成立することを示せ．
(2)関数$f(x)$が$(*)$を満たすとする．このとき，$a<b$を満たす実数$a,\ b$と$0<t<1$を満たす$t$に対して，
\[ f((1-t)a+tb) \geqq (1-t)f(a)+tf(b) \]
が成立することを示せ．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$についての多項式$P(x)$を$x^2+x+1$で割った余りが$x+1$，$x^2-x+1$で割った余りが$x-1$のとき，$P(x)$を$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$で割った余りは$[ア]$である．
(2)関数$f(x)$が次の条件を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
任意の実数$x$に対して，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt-3 \int_{-x}^0 f(t) \, dt=x^3$
(3)次の等式を満たす最大の整数$a$は$a=[ウ]$である．
\[ \left[ \frac{a}{2} \right]+\left[ \frac{2a}{3} \right]=a \]
ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=7$，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=5$である．$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，それぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上の点とするとき，$\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RS}+\mathrm{SP}$の最小値は$[エ]$である．