関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |x-2t| \sin t \, dt$で定める（$0 \leqq x \leqq \pi$）．次の問に答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．ただし，$a>0$とする．
\[ \int t \sin at \, dt,\quad \int \sin^2 \frac{t}{2} \, dt \]
(2)$f(x)$の最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)-f(0)$と$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-3x+6$があり，$C$上の点で$x$座標が$t$と$2t$であるものをそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし$t>0$とする．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるときの$t$の値を$t_0$とおく．$t_0$の値を求めよ．
(2)$t=t_0$のとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$の周および内部と，不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{2}x^2-3x+6$の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
(3)$0<t<t_0$を満たす$t$に対して，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおくとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
7 & -4 \\
5 & -2
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
4 & 1 \\
5 & 1
\end{array} \right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める．

(i) $A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおくとき，$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^2 |e^x-e| \, dx$

(2)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x^2} \, dx$

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が，$a_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$で定められている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$に対して，$b_{n+1}<a_n<b_n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 8<\sum_{k=1}^{40} b_k<9$が成り立つことを示せ．

座標平面において，方程式$\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$が表す双曲線$C$と点$\mathrm{P}(a,\ 0)$がある．ただし，$a>3$とする．点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と双曲線$C$との交点の一つである点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．ただし，$b>0$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$における双曲線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(c,\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a$を用いて$b$を表しなさい．
(2)$a$を用いて接線$\ell$の方程式を表しなさい．
(3)$a$を用いて$c$を表しなさい．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$を求めなさい．

四面体$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DH}$の長さを，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$t=\cos \theta$とする．$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を，$t$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい．ただし，$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい．

一般項が$\displaystyle a_n=\tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$で与えられる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えなさい．

(1)正接の$2$倍角の公式$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$を用いて，数列$\{a_n\}$の漸化式を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．