関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．

(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a>0$，$\displaystyle b>\frac{1}{2}$とする．$xy$平面上に，

曲線$C_1$：$y=\log x (x>0)$，曲線$C_2$：$y=ax^2-b (x>0)$

がある．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している．$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする．$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(b)$を$b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S \left( \frac{3}{2} \right)$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{b \to \infty} S(b)=1$となることを示せ．

$0<t<1$とする．$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{ED}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \sin \frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \]
を証明なしで用いてよい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{APQ}=\frac{\pi}{2}$となる$t$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2},\ y=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$のとき，$x^2+y^2$の値を求めよ．
(2)$x$の整式$f(x)$を$x^2-x-6$で割った余りが$3ax+15$で，$f(x)$を$x^2-7x+12$で割った余りが$5x-3$であるとき，定数$a$の値を求めよ．
(3)${(2x-3y)}^5$の展開式における，$x^2y^3$の係数を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x \leqq 5$のとき，不等式$\sqrt{5-x}>x-2$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$\log_2 x+\log_8 x=(\log_2 x)(\log_8 x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式
\[ 2(\cos 4x-1) \cos x-3(\cos 3x+\cos x)>0 \]
を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

$r>0$とする．実数の数列$\{a_n\}$は，

$a_1=0,\quad a_2=1,$
${a_{n+2}}^2-2a_{n+2}a_{n+1}+(1-r){a_{n+1}}^2+2ra_{n+1}a_n-r{a_n}^2=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たすとする．数列$\{b_n\}$を，

$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

で定める．$b_n>0 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点

$\mathrm{P}_n(n,\ a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$を$r$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$の成分表示を$n,\ r$を用いて与えよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{2}$とはならないことを示せ．

数列$\{a_n\}$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle a_1=\frac{1}{2}, \\
n(n+1)(n+2)a_n=(n-1)n(n+1)a_{n-1}+2 \phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{2}} (n=2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

次の定積分の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x}$

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^4 x}$

次の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{9}+\cos \frac{4\pi}{9}+\cos \frac{8\pi}{9}$
(2)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{8\pi}{9}$

$2$点$\mathrm{A}(x,\ y)$，$\mathrm{B}(X,\ Y)$が原点$\mathrm{O}$を通る同一直線上にある．$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB}=4$を満たし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は原点$\mathrm{O}$に対し反対側にある．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}(x,\ y)$を$X$と$Y$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$y=-2x-2$上を動くとき，

(i) 点$\mathrm{B}$の軌跡，
(ii) $\displaystyle\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{AB}}$が最大となる点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標

を求めよ．