「分数」について
タグ「分数」の検索結果
（140ページ目：全4648問中1391問～1400問を表示）
公立 富山県立大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)等式$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$が成り立つことを示せ．
(2)方程式$8x^3-6x+1=0$が$\displaystyle \sin \frac{\pi}{18}$を解にもつことを示せ．
(3)方程式$8x^3-6x+1=0$のすべての解が実数であることを示せ．
(1)等式$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$が成り立つことを示せ．
(2)方程式$8x^3-6x+1=0$が$\displaystyle \sin \frac{\pi}{18}$を解にもつことを示せ．
(3)方程式$8x^3-6x+1=0$のすべての解が実数であることを示せ．
公立 富山県立大学 2015年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$\alpha,\ \beta$は定数で，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，定積分$\displaystyle \int_{\tan \alpha}^{\tan \beta} f(x) \, dx$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{3+4 \cos^2 t} \, dt$を求めよ．
(1)$y=f(x)$の極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$\alpha,\ \beta$は定数で，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，定積分$\displaystyle \int_{\tan \alpha}^{\tan \beta} f(x) \, dx$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{3+4 \cos^2 t} \, dt$を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2015年 第1問曲線$C:y=x^n$（$n$は$2$以上の偶数）上に点$\mathrm{A}(-a,\ a^n) (a>0)$と点$\mathrm{B}(b,\ b^n) (b>0)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とする．また，線分$\mathrm{AB}$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．
(1)$S_1$を求めよ．
(2)$S_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_2 \geqq \frac{2n}{n+1}S_1$が成り立つことを示せ．
(1)$S_1$を求めよ．
(2)$S_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_2 \geqq \frac{2n}{n+1}S_1$が成り立つことを示せ．
公立 滋賀県立大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$とその階差数列$\{b_n\}$に対して，
\[ a_1=1,\quad \frac{a_n}{n}=(3n-2)b_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
\[ a_1=1,\quad \frac{a_n}{n}=(3n-2)b_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2)$(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．
(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2)$(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2015年 第5問複素数$\alpha$は実数でも純虚数でもないとする．$\displaystyle \frac{\alpha}{1+\alpha^2}$が実数であるために$\alpha$の満たすべき必要十分条件を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2015年 第9問$\displaystyle f(x)=\left( \frac{5}{1+3e^{-2x}} \right)^2-\left( \frac{5}{1+3e^{-2x}} \right)+1$とする．$f(x)$が最小となるときの$x$の値を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2015年 第14問次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x-\sin (\tan x)}{x-\tan x} \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x-\sin (\tan x)}{x-\tan x} \]
公立 奈良県立医科大学 2015年 第15問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$の範囲で，曲線$y=\cos x$と曲線$y=\cos 2x$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
公立 高知工科大学 2015年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$について，次の各問に答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)実数$a,\ b$が条件$-2 \leqq a \leqq b \leqq 2$を満たして変化するとき，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)実数$a,\ b$が条件$-2 \leqq a \leqq b \leqq 2$を満たして変化するとき，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a,\ b$の値を求めよ．