平面上の三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$を満たしているとする．また，平面上の動点$\mathrm{P}$に対し実数$f(\mathrm{P})$を
\[ f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \]
で定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$f(\mathrm{G})$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(\mathrm{P})=\frac{8}{3}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき，$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c$および$d$は実数で，$a>0$，$b<0$，$d \neq 0$とする．また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく．$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$があり，点$\mathrm{O}$は原点を表す．点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である．この$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい．


(i) $t=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である．
(iii) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$は，$t=1$および$t=-3$のとき，それぞれ同一平面上にある．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 (1-x^2)^n \, dx=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．

$n$を$2$以上の自然数とする．$n$人でじゃんけんをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返す．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには参加しない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．
(2)$1$回目のじゃんけんで，あいこになる確率を求めよ．
(3)$n=5$のとき，ちょうど$2$回のじゃんけんで，勝者がただ$1$人に決まる確率を求めよ．

半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 (1-x^2)^n \, dx=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．

曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)次の方程式を解きなさい．
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい．
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい．
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい．
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]

次の問いに答えなさい．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -x^2+4 \\
y \geqq -\displaystyle\frac{1}{2}x+1
\end{array} \right.$の表す領域を図示しなさい．

(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき，$x+y$のとりうる値の最大値と最小値を求めなさい．

$t$を$\displaystyle t+\frac{1}{t}=\sqrt{2}$を満たす数とし，$\displaystyle A_n=t^n+\frac{1}{t^n}$（$n$は自然数）とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$A_2,\ A_3,\ A_4$の値を求めなさい．
(2)$n \geqq 2$のとき，$A_{n+1}$を$A_n,\ A_{n-1}$を用いて表しなさい．
(3)$n \geqq 3$のとき，$A_{n+2}$を$A_{n-2}$を用いて表しなさい．
(4)$A_n$のとりうる値をすべて求めなさい．