次の問いに答えよ．

(1)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(4,\ 1,\ -1)$を通る平面が$x$軸と交わる点の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle 1-\cos^2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x$を解け．
(3)方程式$3(4^x+4^{-x})-13(2^x+2^{-x})+16=0$を解け．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．

$a>0$とし，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-a \cos x+\frac{1}{2}a^2 \cos 2x \qquad (-\pi<x<\pi) \]
と定める．

(1)$f(x)$の最小値は，$a \leqq [ア]$のとき$[イ]$であり，$a \geqq [ア]$のとき$[ウ]$である．ただし，$[ア]$には数，$[イ]$と$[ウ]$には$a$の多項式を記入すること．
(2)曲線$y=f(x)$が$x$軸と接するのは$a=[エ]$のときである．
(3)$a=[エ]$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[オ]$であり，その部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[カ]$である．

$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ |(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2} \]
が相異なる$4$つの実数解をもつとき，$a$の範囲は，$\displaystyle [ア]+\sqrt{[イ]}<a<\frac{1}{[ウ]}$である．

座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(\sqrt{3},\ -2)$，$\mathrm{B}(3 \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(4 \sqrt{3},\ -5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．また，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$t>0$を媒介変数として，$x=f^\prime(t)$，$y=f(t)-tf^\prime(t)$で表される曲線の概形を描け．
(3)$(2)$の曲線の接線が$x$軸と$y$軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．

$0<\theta _n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{\theta_n\}$を用いて，閉区間$[0,\ 1]$から始めて，以下のようにしていくつかの閉区間を残す操作を繰り返す．ただし，$a<b$とするとき，開区間$(a,\ b)$の長さは閉区間$[a,\ b]$の長さと等しく$b-a$である．

$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．

\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．

このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．

袋に赤玉が$2$個と白玉が$1$個入っている．袋から玉を$1$個取り出し玉の色を見て袋に戻す．このとき取り出した玉と同色の玉をもう$1$つ袋に加える．この操作を繰り返して行う．

(1)$n$回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であったとする．このとき，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと，$p_n(k)=[ナ]$となる．
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）である確率を$q_n(k)$とおく．たとえば，$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$，$q_4(2)=[ニ]$となる．$n$回の操作中$j$回目（$1 \leqq j \leqq n$）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり，$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる．$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと，$q_n(k)=[ネ]$となる．
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であり，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は，$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる．このことから，$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる．
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする．$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．