「分割」について
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国立 愛知教育大学 2015年 第4問放物線$y=x^2+ax+b$により，$xy$平面を$2$つの領域に分割する．以下の問いに答えよ．
(1)点$(-1,\ 4)$と点$(2,\ 8)$が放物線上にはなく別々の領域に属するような$a,\ b$の条件を求めよ．さらに，その条件を満たす$(a,\ b)$の領域を$ab$平面に図示せよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた条件を満たすとき，$a^2+b^2$がとり得る値の範囲を求めよ．
(1)点$(-1,\ 4)$と点$(2,\ 8)$が放物線上にはなく別々の領域に属するような$a,\ b$の条件を求めよ．さらに，その条件を満たす$(a,\ b)$の領域を$ab$平面に図示せよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた条件を満たすとき，$a^2+b^2$がとり得る値の範囲を求めよ．
私立 九州産業大学 2015年 第3問$3$次関数$f(x)$は$x=-1$と$x=-5$で極値をとり，$f(0)=14$，$f(1)=64$とする．
(1)$f(x)=[ア]x^3+[イウ]x^2+[エオ]x+[カキ]$であり，
$f^\prime(x)=[ク]x^2+[ケコ]x+[サシ]$である．
(2)$f(x)$の極大値は$[スセ]$であり，極小値は$[ソ]$である．
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$[タ]$個である．
(4)$f^\prime(x)=g(x)$とおく．曲線$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれる図形$A$の面積は$[チツ]$である．図形$A$が直線$x=a$によって$2$つに分割され，左側と右側の部分の面積の比が$5:27$であるならば，$a$の値は$[テト]$である．
(1)$f(x)=[ア]x^3+[イウ]x^2+[エオ]x+[カキ]$であり，
$f^\prime(x)=[ク]x^2+[ケコ]x+[サシ]$である．
(2)$f(x)$の極大値は$[スセ]$であり，極小値は$[ソ]$である．
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$[タ]$個である．
(4)$f^\prime(x)=g(x)$とおく．曲線$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれる図形$A$の面積は$[チツ]$である．図形$A$が直線$x=a$によって$2$つに分割され，左側と右側の部分の面積の比が$5:27$であるならば，$a$の値は$[テト]$である．
公立 福岡女子大学 2015年 第4問どの頂角も${180}^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$（図$1$）があり，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{W}$とする．この四角形を$2$つの三角形$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$に分割し（図$2$），それぞれの三角形の重心を$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_1^\prime$とする．また，同じ四角形を$2$つの三角形$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$に分割し（図$3$），それぞれの三角形の重心を$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_2^\prime$とする．さらに線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$と線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$の交点を$\mathrm{G}$とする．実数$l,\ m$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=l \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AD}} \]
を満たすとする．以下の問に答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2}$はそれぞれ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}) \]
となるが，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表しなさい．
(2)$0<p_1<1,\ 0<p_2<1$に対して，線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$を$p_1:1-p_1$に内分する点を$\mathrm{H}_1$とし，線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$を$p_2:1-p_2$に内分する点を$\mathrm{H}_2$とする．このとき，
$\overrightarrow{\mathrm{AH}_1}=(1-p_1) \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}+p_1 \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$
$\overrightarrow{\mathrm{AH}_2}=(1-p_2) \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}+p_2 \overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$
となるが，特に$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，$p_1,\ p_2$を$l,\ m$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$と同じく$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，以下の式が成り立つことを示しなさい．
\[ \frac{\mathrm{G}_1^\prime \mathrm{G}}{\mathrm{G}_1 \mathrm{G}}=\frac{m}{l}=\frac{\mathrm{BW}}{\mathrm{DW}} \]
（図は省略）
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=l \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AD}} \]
を満たすとする．以下の問に答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2}$はそれぞれ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}) \]
となるが，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表しなさい．
(2)$0<p_1<1,\ 0<p_2<1$に対して，線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$を$p_1:1-p_1$に内分する点を$\mathrm{H}_1$とし，線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$を$p_2:1-p_2$に内分する点を$\mathrm{H}_2$とする．このとき，
$\overrightarrow{\mathrm{AH}_1}=(1-p_1) \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}+p_1 \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$
$\overrightarrow{\mathrm{AH}_2}=(1-p_2) \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}+p_2 \overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$
となるが，特に$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，$p_1,\ p_2$を$l,\ m$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$と同じく$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，以下の式が成り立つことを示しなさい．
\[ \frac{\mathrm{G}_1^\prime \mathrm{G}}{\mathrm{G}_1 \mathrm{G}}=\frac{m}{l}=\frac{\mathrm{BW}}{\mathrm{DW}} \]
（図は省略）
国立 高知大学 2014年 第3問丸いピザを包丁で，まっすぐに切る．$1$回切るとどんな切り方をしてもピザは$2$片に分割される．$2$回だと$3$片か$4$片に分割される．このとき，$n$回切ったときの最大分割数を$a_n$とおく．例えば$a_1=2$，$a_2=4$，$a_3=7$である．次の問いに答えよ．
(1)$a_3 \geqq 7$，$a_4 \geqq 11$，$a_5 \geqq 16$であることを図により確かめよ．
(2)$n$回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数を$p_n$とおく．上手に切れば
\[ a_{n+1}=a_n+p_{n+1} \]
となる．このときの$p_{n+1}$を求めよ．
(3)$a_n$を求めよ．
(4)$100$片以上に分割するには最低何回切ればよいか．
(1)$a_3 \geqq 7$，$a_4 \geqq 11$，$a_5 \geqq 16$であることを図により確かめよ．
(2)$n$回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数を$p_n$とおく．上手に切れば
\[ a_{n+1}=a_n+p_{n+1} \]
となる．このときの$p_{n+1}$を求めよ．
(3)$a_n$を求めよ．
(4)$100$片以上に分割するには最低何回切ればよいか．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$が与えられているとする．以下の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1$，$0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．
(2)直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$\ell$によって，$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1$，小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．
(i) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．
(ii) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1$，$0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．
(2)直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$\ell$によって，$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1$，小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．
(i) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．
(ii) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 福島大学 2014年 第5問正の整数$n$を
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．
いま，$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって，積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．
(1)$P(4)$を求めなさい．
(2)$n>1$とする．$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．
(3)最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．
(4)最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．
(5)$P(20)$を求めなさい．
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．
いま，$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって，積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．
(1)$P(4)$を求めなさい．
(2)$n>1$とする．$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．
(3)最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．
(4)最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．
(5)$P(20)$を求めなさい．
私立 西南学院大学 2013年 第5問関数$f(x)$を$f(x)=-x^3-3x^2+a$とし，$y=f(x)$で表されるグラフを$C$とする．$C$が極小となる点で$x$軸と接するとき，以下の問に答えよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極小値と極大値および$a$の値を求めよ．
(2)$C$と$x$軸の共有点のうち，$C$が極小とならない座標を求め，その点における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$y=3x^2-3$で表されるグラフを$D$とし，$D$と(2)で求めた$\ell$で囲まれる部分を$E$とする．$E$を$y$軸で$2$分割し，$x \geqq 0$の部分の面積と$x \leqq 0$の部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求め，$f(x)$の極小値と極大値および$a$の値を求めよ．
(2)$C$と$x$軸の共有点のうち，$C$が極小とならない座標を求め，その点における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$y=3x^2-3$で表されるグラフを$D$とし，$D$と(2)で求めた$\ell$で囲まれる部分を$E$とする．$E$を$y$軸で$2$分割し，$x \geqq 0$の部分の面積と$x \leqq 0$の部分の面積を求めよ．
公立 県立広島大学 2013年 第2問自然数を$1$から順に並べ，第$n$群が$3^{n-1}$個の自然数を含むように分割する．例えば，第$1$群は$\{1\}$であり，第$2$群は$\{2,\ 3,\ 4\}$である．次の問いに答えよ．
\[ \{1\},\quad \{2,\ 3,\ 4\},\quad \{5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13\},\quad \cdots \]
(1)第$n$群の最初の数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれるすべての自然数の和を求めよ．
(3)$6^{20}$は第何番目の群に含まれるか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
\[ \{1\},\quad \{2,\ 3,\ 4\},\quad \{5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13\},\quad \cdots \]
(1)第$n$群の最初の数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれるすべての自然数の和を求めよ．
(3)$6^{20}$は第何番目の群に含まれるか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
公立 北九州市立大学 2013年 第2問曲線$C:y=|x(x-2)|$と直線$\ell:y=kx$（$k$は定数）が原点$\mathrm{O}$以外に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{B}$の$x$座標は点$\mathrm{A}$の$x$座標よりも大きいとする．また，点$\mathrm{B}$を通り，点$\mathrm{B}$とも原点$\mathrm{O}$とも異なる点$\mathrm{E}$において曲線$C$と接する直線を$m$とする．以下の問いに答えよ．
(1)定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)直線$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{FOE}$は曲線$C$によって二つの図形に分割されている．それらの二つの図形の面積の比を求めよ．
(3)$k=1$のとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(1)定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)直線$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{FOE}$は曲線$C$によって二つの図形に分割されている．それらの二つの図形の面積の比を求めよ．
(3)$k=1$のとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
国立 浜松医科大学 2012年 第3問$n$は自然数を表すとして，以下の問いに答えよ．
(1)平面を次の条件を満たす$n$個の直線によって分割する．
【どの直線も他のすべての直線と交わり，どの$3$つの直線も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の直線によって作られる領域の個数を$L(n)$とすると，$L(1)=2,\ L(2)=4$は容易にわかる．次の問いに答えよ．
(i) $L(3),\ L(4),\ L(5)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $L(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $L(n)$を求めよ．
(2)平面を次の条件を満たす$n$個の円によって分割する．
【どの円も他のすべての円と$2$点で交わり，どの$3$つの円も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の円によって作られる領域の個数を$D(n)$とすると，$D(1)=2$は容易にわかる．次の問いに答えよ．
(i) $D(2),\ D(3),\ D(4)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $D(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $D(n)$を求めよ．
(1)平面を次の条件を満たす$n$個の直線によって分割する．
【どの直線も他のすべての直線と交わり，どの$3$つの直線も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の直線によって作られる領域の個数を$L(n)$とすると，$L(1)=2,\ L(2)=4$は容易にわかる．次の問いに答えよ．
(i) $L(3),\ L(4),\ L(5)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $L(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $L(n)$を求めよ．
(2)平面を次の条件を満たす$n$個の円によって分割する．
【どの円も他のすべての円と$2$点で交わり，どの$3$つの円も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の円によって作られる領域の個数を$D(n)$とすると，$D(1)=2$は容易にわかる．次の問いに答えよ．
(i) $D(2),\ D(3),\ D(4)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $D(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $D(n)$を求めよ．