「円」について
タグ「円」の検索結果
(9ページ目:全908問中81問~90問を表示)![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
円$C:(x-3)^2+(y+2)^2=2$と直線$\ell:y=2x-7$について考える.円$C$と直線$\ell$は,異なる$2$つの点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わる.線分$\mathrm{AB}$の長さを$m$とするとき,$\sqrt{5}m$の値を求めよ.
![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=5$,$\mathrm{CD}+\mathrm{DA}=12$である四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している.$\mathrm{CD}=x$とおく.次の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{AC}=3 \sqrt{6}$のとき,$x$の値を求めよ.
(2)$x$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ.
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$の$4$辺すべてが接する円が存在するとき,$x$の値を求めよ.
(1)$\mathrm{AC}=3 \sqrt{6}$のとき,$x$の値を求めよ.
(2)$x$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ.
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$の$4$辺すべてが接する円が存在するとき,$x$の値を求めよ.
![京都薬科大学](./img/univ/kyotoyakka.png)
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.ただし,$[コ]$においては,$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ.
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
![青山学院大学](./img/univ/aoyama.png)
四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しており,$4$辺の長さが
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である.
(1)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと,$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから
\[ \mathrm{BD}=[$10$] \sqrt{[$11$]},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{[$12$]}}{[$13$][$14$]} \]
となる.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[$15$]$である.
(2)$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると,
\[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$16$],\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$17$] \]
である.したがって,
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{[$18$]}{[$19$][$20$]} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{[$21$][$22$]}{[$23$][$24$]} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \]
である.
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である.
(1)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと,$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから
\[ \mathrm{BD}=[$10$] \sqrt{[$11$]},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{[$12$]}}{[$13$][$14$]} \]
となる.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[$15$]$である.
(2)$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると,
\[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$16$],\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$17$] \]
である.したがって,
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{[$18$]}{[$19$][$20$]} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{[$21$][$22$]}{[$23$][$24$]} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \]
である.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$,半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が,放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で,直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している(直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする).ここで$2$つの曲線が接するとは,交点における接線が一致することを意味する.このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり,$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす.また,放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である.このとき,放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である.
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり,$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす.また,放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である.このとき,放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
$\mathrm{AB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$,$\mathrm{OB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$,$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}=t$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$t$を用いて表せ.
(2)$(1)$で定めた$t$の値を求めよ.
(3)$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}$を求めよ.
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(5)$(4)$のとき,三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の半径$r$を求めよ.
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}=t$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$t$を用いて表せ.
(2)$(1)$で定めた$t$の値を求めよ.
(3)$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}$を求めよ.
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(5)$(4)$のとき,三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の半径$r$を求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
次の問いに答えよ.
(1)図のように大中小の円と直線が互いに接している.小円の半径は$4$寸,中円の半径は$9$寸であった.このとき,大円の半径は$[$55$][$56$]$寸である.(注意:図は原寸どおりではない.)
(図は省略)
(2)\begin{mawarikomi}{50mm}{
(図は省略)
}
図のように半径$4$寸の扇形$\mathrm{AOB}$と半径$1$寸の扇形$\mathrm{COD}$が重なっている.今$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{8}$とすると,弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$と直線$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BC}$に接する円の半径は
\[ \frac{[$57$][$58$]}{[$59$][$60$]} \left( [$61$][$62$]-\sqrt{[$63$][$64$]} \right) \]
寸である.(注意:図は原寸どおりではない.)
\end{mawarikomi}
(1)図のように大中小の円と直線が互いに接している.小円の半径は$4$寸,中円の半径は$9$寸であった.このとき,大円の半径は$[$55$][$56$]$寸である.(注意:図は原寸どおりではない.)
(図は省略)
(2)\begin{mawarikomi}{50mm}{
(図は省略)
}
図のように半径$4$寸の扇形$\mathrm{AOB}$と半径$1$寸の扇形$\mathrm{COD}$が重なっている.今$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{8}$とすると,弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$と直線$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BC}$に接する円の半径は
\[ \frac{[$57$][$58$]}{[$59$][$60$]} \left( [$61$][$62$]-\sqrt{[$63$][$64$]} \right) \]
寸である.(注意:図は原寸どおりではない.)
\end{mawarikomi}
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
$r$を$r>1$である定数とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において,点$\mathrm{P}(a,\ b)$は,原点$\mathrm{O}$を除く円$C:(x-r)^2+y^2=r^2$上を動くとする.点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}(p,\ q)$は,$\mathrm{OP} \times \mathrm{OQ}=1$を満たし,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は一直線上にあり,$p>0$であるとする.また点$\mathrm{Q}$に対して,点$\mathrm{R}(p,\ -q)$を考える.このとき次の問いに答えよ.
(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ.
(3)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ.
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ.
(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき,点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ.
(3)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ.
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ.
![金沢工業大学](./img/univ/kanazawakougyou.png)
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 4)$,$\mathrm{B}(6,\ 0)$をとる.点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$,線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,点$\mathrm{M}$を通り直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする.
(1)点$\mathrm{M}$の座標は$([コ],\ [サ])$である.
(2)直線$\ell_1$の方程式は$y=-x+[シ]$であり,直線$\ell_2$の方程式は$y=x-[ス]$である.
(3)線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線と直線$\ell_2$との交点の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(4)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る円の方程式は$x^2+y^2-[タ]x-[チ]y=0$である.
(1)点$\mathrm{M}$の座標は$([コ],\ [サ])$である.
(2)直線$\ell_1$の方程式は$y=-x+[シ]$であり,直線$\ell_2$の方程式は$y=x-[ス]$である.
(3)線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線と直線$\ell_2$との交点の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(4)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る円の方程式は$x^2+y^2-[タ]x-[チ]y=0$である.
![東邦大学](./img/univ/toho.png)
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において,点$\mathrm{P}(3,\ 1)$を通る直線が円$x^2+y^2=1$上の$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わる.ただし,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はそれぞれ第$1$象限,第$2$象限内の点である.$\mathrm{PA}=\sqrt{5}$のとき,$\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である.