$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．

点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をとります．ただし，これらの点は頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とは異なるものとします．$\triangle \mathrm{ARQ}$，$\triangle \mathrm{RBP}$，$\triangle \mathrm{QPC}$の外接円を，それぞれ$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$，$\mathrm{O}_3$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が$2$点で交わっているとします．これら$2$つの円が$\mathrm{R}$以外で交わる点を$\mathrm{X}$とするとき，円$\mathrm{O}_3$も$\mathrm{X}$を通ることを証明しなさい．
(2)円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が接しているとき，円$\mathrm{O}_3$は点$\mathrm{R}$を通ることを証明しなさい．

平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．

点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．

座標平面上の円$C:x^2+(y-1)^2=1$と，$x$軸上の$2$点$\mathrm{P}(-a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$を考える．ただし，$a>0$，$b>0$，$ab \neq 1$とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$のそれぞれから$C$に$x$軸とは異なる接線を引き，その$2$つの接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\mathrm{QR}$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b$で表せ．
(3)$\mathrm{R}$の$y$座標が正であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の周の長さを$T$とする．$T$を$a,\ b$で表せ．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が，条件「$\mathrm{PQ}=4$であり，$\mathrm{R}$の$y$座標は正である」を満たしながら動くとき，$T$を最小とする$a$の値とそのときの$T$の値を求めよ．

座標平面において，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_1(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_1$から反時計回りに，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{E}_1$，$\mathrm{F}_1$とする．同様に，$2$以上の自然数$n$に対して，$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円に内接する正六角形のうち，点$\mathrm{A}_n(n,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考え，その頂点を$\mathrm{A}_n$から反時計回りに，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$，$\mathrm{E}_n$，$\mathrm{F}_n$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}_1}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{B}_3 \mathrm{C}_7}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{P}$が，正六角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{E}_n \mathrm{F}_n$の辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上にあるための必要十分条件を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数とし，頂点$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{F}_n$は辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点とする．
(3)点$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{C}_7$，$\mathrm{E}_2$と辺$\mathrm{A}_n \mathrm{F}_n$上の点$\mathrm{P}$がある平行四辺形の頂点となるような自然数$n$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

円$x^2+(y-1)^2=1$を$C$，円$(x-2)^2+(y-1)^2=1$を$C_0$とする．$C$，$C_0$，$x$軸に接する円を$C_1$とする．$C$，$C_1$，$x$軸に接し$C_0$と異なる円を$C_2$とし，これを繰り返して$C$，$C_n$，$x$軸に接し$C_{n-1}$と異なる円を$C_{n+1}$とする．また，円$C_n$の半径を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

円$x^2+(y-1)^2=1$を$C$，円$(x-2)^2+(y-1)^2=1$を$C_0$とする．$C$，$C_0$，$x$軸に接する円を$C_1$とする．$C$，$C_1$，$x$軸に接し$C_0$と異なる円を$C_2$とし，これを繰り返して$C$，$C_n$，$x$軸に接し$C_{n-1}$と異なる円を$C_{n+1}$とする．また，円$C_n$の半径を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}}$とするとき，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

円$C$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線$m$が交わっているとする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$とは異なる$m$上の点$\mathrm{S}$を$\mathrm{QR}=\mathrm{QS}$を満たすように定める．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$を通る直線と円$C$との交点で$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を中心に$\mathrm{T}$を${180}^\circ$回転した点を$\mathrm{T}^\prime$とする．

(1)$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}^\prime$，$\mathrm{R}$が同一円周上にあることを示せ．
(2)$\mathrm{QP}=\sqrt{10}$，$\mathrm{PR}=\sqrt{5}$，$\mathrm{RT}^\prime=1$，$\mathrm{T}^\prime \mathrm{Q}=\sqrt{2}$のとき，$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．さらに，四角形$\mathrm{PQT}^\prime \mathrm{R}$の面積を求めよ．

$xy$平面において，点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C$とする．円$C$上に原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}$を取り，直線$\mathrm{OP}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$x$座標が$\mathrm{Q}$と同じで，$y$座標が$\mathrm{P}$と同じである点を$\mathrm{R}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$が円$C$上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点全体を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた曲線と$x$軸および$2$直線$x=0$，$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．