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北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第1問
複素数平面上の点$0$を中心とする半径$2$の円$C$上に点$z$がある.$a$を実数の定数とし,
\[ w=z^2-2az+1 \]
とおく.

(1)$|w|^2$を$z$の実部$x$と$a$を用いて表せ.
(2)点$z$が$C$上を一周するとき,$|w|$の最小値を$a$を用いて表せ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第1問
$a$を正の定数とし,座標平面上において,
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える.$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している.次の問いに答えよ.

(1)$s,\ t$および$a$を求めよ.
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする.$C_2$,$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ.
東京工業大学 国立 東京工業大学 2016年 第1問
$a$を正の定数とし,放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$を$C_1$とする.

(1)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき,$\mathrm{P}$と点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( 2a,\ \frac{a^2}{4}-2 \right)$の距離の最小値を求めよ.
(2)$\mathrm{Q}$を中心とする円$\displaystyle (x-2a)^2+\left( y-\frac{a^2}{4}+2 \right)^2=2a^2$を$C_2$とする.$\mathrm{P}$が$C_1$上を動き,点$\mathrm{R}$が$C_2$上を動くとき,$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離の最小値を求めよ.
東北大学 国立 東北大学 2016年 第4問
鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BE}$,$\mathrm{CF}$を下ろす.これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ.
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ.
東北大学 国立 東北大学 2016年 第1問
鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において,頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BE}$,$\mathrm{CF}$を下ろす.これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ.
(2)$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第4問
数列$\{r_n\}$を初項$r_1=1$,公差$1$の等差数列とする.また,数列$\{a_n\}$を次の式で定める.
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ.

(1)一般項$a_n$を求めよ.
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ.
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ.
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け.
東京工業大学 国立 東京工業大学 2016年 第3問
水平な平面$\alpha$の上に半径$r_1$の球$S_1$と半径$r_2$の球$S_2$が乗っており,$S_1$と$S_2$は外接している.

(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$とする.線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ.
(2)$\alpha$の上に乗っており,$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える.それらの球と$\alpha$の接点は,$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ.
九州大学 国立 九州大学 2016年 第3問
座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で,点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える.この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$とする.ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し,$1$つのサイコロを$1$回投げ,出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす.


\mon[(規則)$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は,出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす.例えば,コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす.
(ii) $6$の目が出た場合は,$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす.ただし,コインが$x$軸上にあるときは動かさない.例えば,コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす.

はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き,$1$つのサイコロを続けて何回か投げて,$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える.以下の問いに答えよ.

(1)$2$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
(2)$3$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
(3)$n$を自然数とする.$n$回サイコロを投げた後に,コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ.
名古屋大学 国立 名古屋大学 2016年 第2問
$2$つの円$C:(x-1)^2+y^2=1$と$D:(x+2)^2+y^2=7^2$を考える.また原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)円$C$上に,$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり,$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ.

ただし$(2)$,$(3)$においては,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2016年 第4問
$xy$平面において,点$(0,\ 2)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする.また,放物線$y=ax^2$を$P$とする.ただし,$a$は正の実数とする.

(1)円$C$と放物線$P$との共有点が円$C$の円周の長さを$3$等分するとき,$a$の値を求めよ.
(2)$a$の値を$(1)$で求めたものとする.このとき,円$C$と放物線$P$により囲まれてできる図形のうち,点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3}{2} \right)$を内部に含む図形の面積を求めよ.
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「円」とは・・・

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