数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=b_1=2, \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}} \\
\displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}a_n-\frac{\sqrt{6}}{4}b_n,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{6}}{4}a_n+\frac{\sqrt{2}}{4}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たすものとする．$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と，その絶対値$|w|$を求めよ．
(2)複素数平面上で，点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ．
(3)数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする．このとき，複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ．

平面上で，半径$r_1$の円$C_1$と半径$r_2$の円$C_2$が，異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとする．線分$\mathrm{PQ}$の垂直二等分線を$\ell$として，円$C_1$と$\ell$の交点のうち円$C_2$の内部にある点を$\mathrm{R}$，円$C_2$と$\ell$の交点のうち円$C_1$の外部にある点を$\mathrm{S}$とする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{2},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ．

(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{PSQ}=\frac{\pi}{4}$のとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を求めよ．

(3)$\displaystyle \angle \mathrm{PRQ}=\theta_1,\ \angle \mathrm{PSQ}=\theta_2$とするとき，$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}$を$\theta_1$と$\theta_2$を用いて表せ．

$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする．自然数$k$に対して，平面上の点$\mathrm{P}_k$，$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすものとして定める．

(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．

円上の$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は反時計回りにこの順に並び，円周を$5$等分している．$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}$の大きさを$x$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき，$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする．$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし，$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ．
（図は省略）

$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．

$xy$平面上の原点を中心とする単位円を底面とし，点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 1)$を頂点とする円錐を$\mathrm{K}$とする．$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，円錐$\mathrm{K}$の表面および内部が通過する部分の体積は$\displaystyle \frac{\pi+[ナ]}{[ニ]}$である．

球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し，球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$，半径$\sqrt{[$31$]}$の円である．

球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．

点$\mathrm{A}(-1,\ -3)$から円$x^2+y^2=5$に接線を引くと，接点の座標は$(-[セ],\ -[ソ])$と$([タ],\ -[チ])$である．また，$2$本の接線と円で囲まれた部分（ただし，円の内部を含まない）の面積は，$\displaystyle [ツ]-\frac{[テ]}{[ト]} \pi$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 0)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,\ 2)$で定め，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$s,\ t$は実数）で定める．

(1)$s=2$，$t=3$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=([サ],\ [シ])$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 10)$のとき，$s=[スセ]$，$t=[ソ]$である．
(3)実数$s,\ t$が$4s+5t \leqq 20$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら変化するとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲は原点$\mathrm{O}$，点$([タ],\ [チ])$，$([ツ],\ [テ])$を頂点とする三角形の内部および周である．ただし，$[タ]<[ツ]$とする．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{b}+\frac{1}{2} \overrightarrow{c}$を満たすようにとる．また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$，$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ．
(3)次の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする．すなわち，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている．このとき，$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ．