「内積」について
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国立 長崎大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=6$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる．$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき，$x$と$y$が満たす関係式を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
私立 龍谷大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}$とする．$\angle \mathrm{O}$の$2$等分線上の点$\mathrm{P}$を考える．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めなさい．
(2)$\mathrm{OP}=1$とする．実数$s,\ t$を使って$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$s,\ t$を求めなさい．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めなさい．
(2)$\mathrm{OP}=1$とする．実数$s,\ t$を使って$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$s,\ t$を求めなさい．
私立 京都産業大学 2014年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を記入せよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+x-2 \leqq 0 \displaystyle \phantom{\frac{1}{[ ]}} \\
\displaystyle\frac{x-6}{7}>\frac{x-4}{5}
\end{array} \right. \]
を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 6)$に対して，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$[ ]$である．
(3)$(x+2y)^6$の展開式における$x^2y^4$の係数は$[ ]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$x$の方程式$(\log_2 x)^2+(a+1) \log_2 x+1=0$が異なる$2$つの実数の解をもつような$a$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[ ]$である．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+x-2 \leqq 0 \displaystyle \phantom{\frac{1}{[ ]}} \\
\displaystyle\frac{x-6}{7}>\frac{x-4}{5}
\end{array} \right. \]
を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 6)$に対して，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$[ ]$である．
(3)$(x+2y)^6$の展開式における$x^2y^4$の係数は$[ ]$である．
(4)$a$を実数とするとき，$x$の方程式$(\log_2 x)^2+(a+1) \log_2 x+1=0$が異なる$2$つの実数の解をもつような$a$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=4$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[ ]$である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$4$つの角がすべて$\pi$未満である平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{CD}=10$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$は互いに直交し，$\mathrm{AC}=12$，$\mathrm{BD}=9$とする．$\angle \mathrm{BAC}=x$，$\angle \mathrm{BDC}=y$，$\angle \mathrm{CBD}=\alpha$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$\sin x$および$\sin y$の値を求めよ．
(2)$\sin \alpha$および$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$の値を求めよ．
(1)$\sin x$および$\sin y$の値を求めよ．
(2)$\sin \alpha$および$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$の値を求めよ．
私立 北里大学 2014年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる数を求めよ．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi,\ \cos \alpha=\frac{3}{5},\ \sin \beta=\frac{12}{13}$を満たす$2$つの角$\alpha,\ \beta$を考える．このとき，$\sin 2\alpha=[ア]$，$\tan (\alpha-\beta)=[イ]$，$\sin (2\alpha+\beta)=[ウ]$となる．
(2)整式$P(x)$を$x^2-3x+2$で割ると$12x-5$余り，$x^2-x-2$で割ると$2x+15$余る．このとき，$P(x)$を$x-1$で割った余りは$[エ]$で，$x^2-1$で割った余りは$[オ]x+[カ]$である．
(3)$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$7$個の数字すべてを横$1$列に並べるとき，並べ方は全部で$[キ]$通りである．そのうち，両端の数字が$3$と$4$となる並べ方は$[ク]$通り，$3$より左側に$1$が$2$個あるような並べ方は$[ケ]$通りである．
(4)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\theta$は$[コ]$度で，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[サ]$である．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=[シ] \overrightarrow{b}+[ス] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[セ] \overrightarrow{b}+[ソ] \overrightarrow{c}$と表せる．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi,\ \cos \alpha=\frac{3}{5},\ \sin \beta=\frac{12}{13}$を満たす$2$つの角$\alpha,\ \beta$を考える．このとき，$\sin 2\alpha=[ア]$，$\tan (\alpha-\beta)=[イ]$，$\sin (2\alpha+\beta)=[ウ]$となる．
(2)整式$P(x)$を$x^2-3x+2$で割ると$12x-5$余り，$x^2-x-2$で割ると$2x+15$余る．このとき，$P(x)$を$x-1$で割った余りは$[エ]$で，$x^2-1$で割った余りは$[オ]x+[カ]$である．
(3)$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$7$個の数字すべてを横$1$列に並べるとき，並べ方は全部で$[キ]$通りである．そのうち，両端の数字が$3$と$4$となる並べ方は$[ク]$通り，$3$より左側に$1$が$2$個あるような並べ方は$[ケ]$通りである．
(4)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\theta$は$[コ]$度で，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値は$[サ]$である．また，$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=[シ] \overrightarrow{b}+[ス] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[セ] \overrightarrow{b}+[ソ] \overrightarrow{c}$と表せる．
私立 東京理科大学 2014年 第5問座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 9)$をとり，$t$を実数として，点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$をとる．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している．さらに，$t \neq -1,\ 3$のとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0 \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．
(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．
私立 東京医科大学 2014年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば
\[ M=\frac{[アイ]}{[ウ]},\quad m=\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．このとき$\{a_n\}$は収束し，$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば
\[ \alpha=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて，数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し，$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば
\[ \beta=\frac{[クケ]}{[コ]} \]
である．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば
\[ M=\frac{[アイ]}{[ウ]},\quad m=\frac{[エ]}{[オ]} \]
である．
(2)数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める．このとき$\{a_n\}$は収束し，$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば
\[ \alpha=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて，数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し，$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば
\[ \beta=\frac{[クケ]}{[コ]} \]
である．
公立 岡山県立大学 2014年 第1問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{CA}=1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．
公立 大阪府立大学 2014年 第2問$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$をみたす二等辺三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$，直線$\mathrm{BR}$と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{S}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，直線$\mathrm{BS}$は辺$\mathrm{OA}$と直交しているとする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
公立 福島県立医科大学 2014年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．
(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．