原点を中心とした半径$1$の円に内接する正三角形$T_1$がある．$T_1$の頂点の$1$つが$\mathrm{A}(0,\ 1)$であり，$T_1$の残りの頂点のうち，$x$座標が負の値である方を$\mathrm{B}$とする．また，$T_1$を原点に関して対称移動したものを$T_2$とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$の方程式は，$[$1$]$である．
(2)直線$\mathrm{AB}$と$T_2$の辺との交点のうち，$x$座標の値が大きい方の座標は$(x,\ y)=[$2$]$である．
(3)$T_1$と$T_2$が重なる部分の面積は$[$3$]$である．

原点を中心とする半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ -5)$，$\mathrm{B}(4,\ -3)$がある．

(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．

下記の式に従う二つの円，円$\mathrm{A}$および円$\mathrm{B}$がある．

円$\mathrm{A}:x^2+y^2-4x+4 \sqrt{3}y+12=0$
円$\mathrm{B}:(x+1)^2+(y-\sqrt{3})^2=r^2$

$r$は正の定数とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が外接するときの円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．
(2)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が内接するときの円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．
(3)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が直角に交わるとき，すなわち円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$の交点におけるそれぞれの接線が直交するとき，円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)底面の直径が$6$，高さが$9$の直円錐がある．直円錐の内側に球を配置した．直円錐の底面と側面に球が接しているとき，この内接球の半径$r$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$上に円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$が接しており，かつ，円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接している．線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_1$の接点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，円$\mathrm{O}_1$の半径を$7$，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{7}$における円$\mathrm{O}_2$の半径$r$を求めよ．ただし，円$\mathrm{O}_2$の半径は円$\mathrm{O}_1$より小さいとする．
(3)三階建ての建物がある．図のように$3$階を$\mathrm{AB}$，$2$階を$\mathrm{CD}$，$1$階を$\mathrm{EF}$としたとき，$3$階から$1$階の通路を$\mathrm{AP}$，$1$階から$2$階の通路を$\mathrm{PD}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{EF}$上で動かしたとき，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の通路の長さの合計が最も短くなるときの値（$\mathrm{AP}+\mathrm{PD}$）を求めよ．ただし，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{EF}=8$，$\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\mathrm{BD}=\mathrm{DF}=2$とする．
（図は省略）

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{O}$の$7$点から異なる$3$点を同時に選ぶとき，以下の問いに答えなさい．

(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．

四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=4$，$\mathrm{DA}=5$である．次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}={180}^\circ$であることを示せ．
(2)$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正方形$A_1$とその内接円$S_1$がある．円$S_1$に内接する正方形$A_2$とその内接円$S_2$がある．このようにして，内接円$S_{n-1}$に内接する正方形$A_n$とその内接円$S_n$がある．$A_1$から$A_n$までの面積の総和を$T_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}T_n$を求めよ．

$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．面$\mathrm{ABC}$と面$\mathrm{DBC}$のなす角を$\theta$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\cos \theta$を求めなさい．
(2)正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めなさい．
(3)正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径$r$を求めなさい．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ケ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$x$および$y$は実数とする．点$(x,\ y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y^2$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$となる．
(2)半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える．この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると，円の半径$r$の値は$[ウ]$，正$12$角形の面積は$[エ]$である．
(3)大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある．タイルは長方形で，縦と横の長さがそれぞれ$2 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$3 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$5 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$である．$15 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく，はみ出ないように貼り付けるとき，$[オ]$通りの貼り付け方が存在する．必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする．また，タイルは切断できないものとする．
(4)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値は$[カ]$，$x^6+y^6$の値は$[キ]$となる．
(5)赤玉が$3$個，白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉がすべて白玉となる確率は$[ク]$である．少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$[ケ]$である．

半径$1$の球が直円錐に内接している．この直円錐の底面の半径を$r$とし，表面積を$S$とする．

(1)$S$を$r$を用いて表せ．
(2)$S$の最小値を求めよ．