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三重大学 国立 三重大学 2016年 第5問
$a$を正の実数とし,曲線$y=x^3$を$C_1$,曲線$\displaystyle y=\frac{9}{8}ax^2$を$C_2$とする.また,$C_1$と$C_2$の共通接線で$C_1$と$2$点を共有するものを$\ell$とする.

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$C_1$と$\ell$が囲む図形の面積$S$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標$p$を求めよ.さらに$\displaystyle I=\int_0^p \left( \frac{9}{8}ax^2-x^3 \right) \, dx$とするとき,比$S:I$を最も簡単な整数比で表せ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第2問
次の各問いに答えよ.

(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく.方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ.また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ.
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく.方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第2問
次の各問いに答えよ.

(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく.方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ.また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ.
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく.方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2016年 第2問
次の各問いに答えよ.

(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく.方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ.また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ.
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく.方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第4問
約数,公約数,最大公約数を次のように定める.
\begin{itemize}
$2$つの整数$a,\ b$に対して,$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき,$b$は$a$の約数であるという.
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という.
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という.
\end{itemize}
以下の問に答えよ.

(1)$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする.

(i) $a=18$,$b=30$,$c=-42$,$p=2$のとき,$a$と$b$の公約数の集合$S$,および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ.
(ii) $a$と$b$の最大公約数を$M$,$b$と$c$の最大公約数を$N$とする.$M$と$N$は等しいことを示せ.ただし,$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする.

(2)自然数の列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \]
で定める.

(i) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ.
(ii) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ.
(iii) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ.
筑波大学 国立 筑波大学 2016年 第2問
$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする.ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする.図で示すように,円$C_1$,$C_2$を以下の$(ⅰ)$~$\tokeishi$で定める.

(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.

円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.

(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
秋田大学 国立 秋田大学 2016年 第3問
$b>0$,$a=2 \sqrt{3}b$とし,原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする.楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$,$y=b \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える.このような円のうち,不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする.円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき,$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ.
(2)$2d=11b$とし,$4$つの頂点が$(d,\ d)$,$(-d,\ d)$,$(-d,\ -d)$,$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える.点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき,$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする.このとき,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して,$C$の半径$r(\theta)$を求めよ.
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ.
玉川大学 私立 玉川大学 2016年 第3問
曲線$C_1:4y=x^2$と曲線$C_2:4(x-1)=(y+1)^2$の共通接線$\ell$を$y=Ax+B$とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)曲線$C_1$と直線$\ell$の接点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$とするとき,$x_1,\ y_1$をそれぞれ$A$で表せ.
(2)曲線$C_2$と直線$\ell$の接点を$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とするとき,$x_2,\ y_2$をそれぞれ$A$で表せ.
(3)曲線$C_1,\ C_2$の共通接線をすべて求めよ.
近畿大学 私立 近畿大学 2016年 第3問
座標平面において,次の式で与えられる$2$つの円$C$,$C^\prime$を考える.

$C:x^2+y^2=13$
$C^\prime:x^2+y^2-8x+14y+13=0$

$2$つの円の$2$つの共通接線は,点$([アイ],\ [ウ])$で交わり,共通接線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は,それぞれ

$\ell_1:[エ]x+[オ]y=13$
$\ell_2:[カキ]x+y=[クケコ]$

である.

(1)円$C^\prime$と直線$\ell_1$の共有点の座標は$([サ],\ [シス])$である.
(2)$2$つの円の異なる$2$つの交点と$\ell_1$上の点$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき,点$\mathrm{P}$の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(3)円$C$,$C^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}^\prime$とする.$\ell_1$上の点$\mathrm{Q}$に対し,$\mathrm{OQ}+\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}$が最小となるとき,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \left( [タ],\ \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right) \]
である.
センター試験 問題集 センター試験 2015年 第6問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$とする.辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=3$となるようにとり,辺$\mathrm{BC}$の$\mathrm{B}$の側の延長と$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円との交点で$\mathrm{B}$と異なるものを$\mathrm{E}$とする.

$\mathrm{CE} \cdot \mathrm{CB}=[アイ]$であるから,$\mathrm{BE}=\sqrt{[ウ]}$である.
$\triangle \mathrm{ACE}$の重心を$\mathrm{G}$とすると,$\displaystyle \mathrm{AG}=\frac{[エオ]}{[カ]}$である.
$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とすると
\[ \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}=\frac{[キ]}{[ク]} \cdots\cdots① \]
である.
$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{EDC}$において,点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$は同一円周上にあるので$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{CED}$で,$\angle \mathrm{C}$は共通であるから
\[ \mathrm{DE}=[ケ] \sqrt{[コ]} \cdots\cdots② \]
である.
$①$,$②$から,$\displaystyle \mathrm{EP}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]}$である.
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