「共分散」について
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国立 信州大学 2016年 第1問$2$つの変量$x,\ y$のデータが，$n$個の$x,\ y$の値の組として
\[ (x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ \cdots,\ (x_n,\ y_n) \]
のように与えられているとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x,\ y$の平均値をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とするとき，変量$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は
\[ s_{xy}=\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n x_ky_k \right)-\overline{x} \; \overline{y} \]
であることを示せ．
(2)これらのデータの間には，$y_k=ax_k+b (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$という関係があるとする．ただし，$a,\ b$は実数で，$a \neq 0$である．変量$x$の標準偏差$s_x$は$0$でないとする．このとき，$x$と$y$の相関係数を求めよ．
\[ (x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ \cdots,\ (x_n,\ y_n) \]
のように与えられているとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x,\ y$の平均値をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とするとき，変量$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は
\[ s_{xy}=\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n x_ky_k \right)-\overline{x} \; \overline{y} \]
であることを示せ．
(2)これらのデータの間には，$y_k=ax_k+b (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$という関係があるとする．ただし，$a,\ b$は実数で，$a \neq 0$である．変量$x$の標準偏差$s_x$は$0$でないとする．このとき，$x$と$y$の相関係数を求めよ．
私立 星薬科大学 2016年 第1問$2$つの変量$x,\ y$の$16$個のデータ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$，$\cdots$，$(x_{16},\ y_{16})$が
$x_1+x_2+\cdots +x_{16}=72,$
$y_1+y_2+\cdots +y_{16}=120,$
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_{16}}^2=349,$
${y_1}^2+{y_2}^2+\cdots +{y_{16}}^2=925,$
$x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_{16}y_{16}=545$
を満たしているとき，次の問に小数で答えよ．
(1)変量$x,\ y$のデータの平均をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とすると，
\[ \overline{x}=[$1$]. [$2$],\quad \overline{y}=[$3$]. [$4$] \]
である．
(2)変量$x,\ y$のデータの標準偏差をそれぞれ$s_x,\ s_y$とすると，
\[ s_x=[$5$]. [$6$][$7$],\quad s_y=[$8$]. [$9$][$10$] \]
である．また，変量$x,\ y$のデータの共分散を$s_{xy}$とすると，
\[ s_{xy}=[$11$]. \kakkofour{$12$}{$13$}{$14$}{$15$} \]
である．
(3)変量$x,\ y$のデータの相関係数を$r$とすると，$r=[$16$]. [$17$]$である．
$x_1+x_2+\cdots +x_{16}=72,$
$y_1+y_2+\cdots +y_{16}=120,$
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_{16}}^2=349,$
${y_1}^2+{y_2}^2+\cdots +{y_{16}}^2=925,$
$x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_{16}y_{16}=545$
を満たしているとき，次の問に小数で答えよ．
(1)変量$x,\ y$のデータの平均をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とすると，
\[ \overline{x}=[$1$]. [$2$],\quad \overline{y}=[$3$]. [$4$] \]
である．
(2)変量$x,\ y$のデータの標準偏差をそれぞれ$s_x,\ s_y$とすると，
\[ s_x=[$5$]. [$6$][$7$],\quad s_y=[$8$]. [$9$][$10$] \]
である．また，変量$x,\ y$のデータの共分散を$s_{xy}$とすると，
\[ s_{xy}=[$11$]. \kakkofour{$12$}{$13$}{$14$}{$15$} \]
である．
(3)変量$x,\ y$のデータの相関係数を$r$とすると，$r=[$16$]. [$17$]$である．
私立 広島工業大学 2016年 第8問$a$を定数とする．$2$つの変量$(x,\ y)$が右の$4$つの観測値をとった．このとき，次の問いに答えよ．
\begin{mawarikomi}{40mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $0$ & $1$ & $a$ & $a+1$ \\ \hline
$y$ & $0$ & $0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
\end{tabular}
}
(1)$x,\ y$の平均値$\overline{x},\ \overline{y}$をそれぞれ求めよ．
(2)$x,\ y$の分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$をそれぞれ求めよ．
(3)$x$と$ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．
(4)$x$と$y$の相関係数$r$を$a$を用いて表せ．
\end{mawarikomi}
\begin{mawarikomi}{40mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & $0$ & $1$ & $a$ & $a+1$ \\ \hline
$y$ & $0$ & $0$ & $1$ & $1$ \\ \hline
\end{tabular}
}
(1)$x,\ y$の平均値$\overline{x},\ \overline{y}$をそれぞれ求めよ．
(2)$x,\ y$の分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$をそれぞれ求めよ．
(3)$x$と$ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．
(4)$x$と$y$の相関係数$r$を$a$を用いて表せ．
\end{mawarikomi}
私立 福岡大学 2016年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
\begin{mawarikomi}{45mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ & $\mathrm{D}$ & $\mathrm{E}$ \\ \hline
$x$ & $7$ & $3$ & $5$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$y$ & $4$ & $5$ & $7$ & $3$ & $6$ \\ \hline
\end{tabular}
}
(1)右の表は，ある中学校の$5$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に$2$つの科目の小テストを行った結果である．$2$つの科目の得点をそれぞれ$x,\ y$とする．
このとき，$x$の分散を求めると$[ ]$であり，$x$と$y$の共分散を求めると$[ ]$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく（ただし$0<t<1$とする）．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{BR}=\mathrm{RP}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[ ]$となり，そのときの$t$の値を求めると$t=[ ]$となる．
\end{mawarikomi}
\begin{mawarikomi}{45mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ & $\mathrm{D}$ & $\mathrm{E}$ \\ \hline
$x$ & $7$ & $3$ & $5$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$y$ & $4$ & $5$ & $7$ & $3$ & $6$ \\ \hline
\end{tabular}
}
(1)右の表は，ある中学校の$5$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に$2$つの科目の小テストを行った結果である．$2$つの科目の得点をそれぞれ$x,\ y$とする．
このとき，$x$の分散を求めると$[ ]$であり，$x$と$y$の共分散を求めると$[ ]$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく（ただし$0<t<1$とする）．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{BR}=\mathrm{RP}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[ ]$となり，そのときの$t$の値を求めると$t=[ ]$となる．
\end{mawarikomi}
私立 広島女学院大学 2016年 第3問下の表は，ある高校の生徒$30$人の$2$つの科目$x$と$y$のテスト（点）の得点をまとめたものである．数値は，四捨五入していない正確な値とし，次の問いに答えよ．ただし，$\overline{x}$，$\overline{y}$はそれぞれ科目$x$，$y$の平均を意味し，$\sqrt{1.64}=1.28$，$\sqrt{2.73}=1.65$とする．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）