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国立 東北大学 2016年 第3問ある工場で作る部品$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はネジをそれぞれ$7$個，$9$個，$12$個使っている．出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ，ネジが全部で$54$個あった．残った部品$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の個数をそれぞれ$l,\ m,\ n$として，可能性のある組$(l,\ m,\ n)$をすべて求めよ．
国立 小樽商科大学 2016年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[ ]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である．
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[ ]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である．
国立 長岡技術科学大学 2016年 第4問自然数$m,\ n$が$m \geqq n$を満たすとする．$\mathrm{a}$という文字が$m$個，$\mathrm{b}$という文字が$n$個あり，それらの合計$m+n$個の文字を$1$列に並べるとき，下の問いに答えなさい．
(1)並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(2)$\mathrm{bb}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(3)$\mathrm{aab}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(1)並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(2)$\mathrm{bb}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(3)$\mathrm{aab}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
国立 新潟大学 2016年 第3問$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚，全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3,\ 5,\ 10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第3問$3$が書かれたカードが$10$枚，$5$が書かれたカードが$10$枚，$10$が書かれたカードが$10$枚，全部で$30$枚のカードが箱の中にある．この中から$1$枚ずつカードを取り出していき，取り出したカードに書かれている数の合計が$10$以上になった時点で操作を終了する．ただし各カードには必ず$3,\ 5,\ 10$いずれかの数が$1$つ書かれているものとし，取り出したカードは箱の中に戻さないものとする．次の問いに答えよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
(1)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$1$回である確率を求めよ．
(2)操作が終了するまでに，カードを取り出した回数が$2$回である確率を求めよ．
(3)操作が終了したときに，取り出したカードに書かれている数の合計が$12$以上である確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である．
(2)$a,\ b$を正の整数とする．方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が，$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である．
(3)正$2016$角形$P$がある．頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある．ただし，頂点の異なる正多角形は異なるものとする．
(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$
(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である．
(2)$a,\ b$を正の整数とする．方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が，$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である．
(3)正$2016$角形$P$がある．頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある．ただし，頂点の異なる正多角形は異なるものとする．
(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$
私立 早稲田大学 2016年 第3問$x,\ y,\ z$の$1$次方程式
\[ x+y+z=2k-1 \quad \cdots \quad ① \]
について，次の問に答えよ．ただし，定数$k$は$k \geqq 6$を満たす整数である．
(1)方程式$①$の整数解$(x,\ y,\ z)$のうち，$x>0$，$y>0$，$z>0$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$のうち，$x \leqq k$を満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$のうち，$x \leqq k$，$y \leqq k+1$，$z \leqq k+2$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
\[ x+y+z=2k-1 \quad \cdots \quad ① \]
について，次の問に答えよ．ただし，定数$k$は$k \geqq 6$を満たす整数である．
(1)方程式$①$の整数解$(x,\ y,\ z)$のうち，$x>0$，$y>0$，$z>0$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$のうち，$x \leqq k$を満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$のうち，$x \leqq k$，$y \leqq k+1$，$z \leqq k+2$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
私立 明治大学 2016年 第1問$a,\ b,\ c$は正の整数である．以下の問に答えなさい．
(1)$ab=1800$となる$a,\ b$の組は全部で$[ア][イ]$通りある．
(2)$a<b<c<10$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$[ウ][エ]$通りある．
(3)$12a=4b+3c$，$b<100$，$c<100$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$[オ][カ][キ]$通りある．
(4)$a+b=3c<100$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}$通りある．
(5)$a+\log_3(b+c)=10$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$\kakkofive{シ}{ス}{セ}{ソ}{タ}$通りある．ただし，$3^{10}=59049$である．
(1)$ab=1800$となる$a,\ b$の組は全部で$[ア][イ]$通りある．
(2)$a<b<c<10$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$[ウ][エ]$通りある．
(3)$12a=4b+3c$，$b<100$，$c<100$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$[オ][カ][キ]$通りある．
(4)$a+b=3c<100$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}$通りある．
(5)$a+\log_3(b+c)=10$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$\kakkofive{シ}{ス}{セ}{ソ}{タ}$通りある．ただし，$3^{10}=59049$である．
私立 東京薬科大学 2016年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．
(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）