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国立 岡山大学 2016年 第3問$a$は正の数とし，次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする．
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$，$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$，$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第2問$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$について次の各問に答えよ．
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
国立 東北大学 2016年 第2問放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．
(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．
国立 愛知教育大学 2016年 第6問次の問いに答えよ．
(1)複素数平面において，方程式$|z+1|=|z-1|$を満たす点$z$全体はどのような図形か答えよ．
(2)複素数$z (z \neq -1)$に対し，$\displaystyle w=\frac{i(1-z)}{1+z}$とする．このとき，どんな$z$に対しても$w=-i$とはならないことを示せ．
(3)点$z$が$(1)$で求めた図形の上を動くとき，$(2)$の点$w$はどのような図形を描くか答えよ．
(1)複素数平面において，方程式$|z+1|=|z-1|$を満たす点$z$全体はどのような図形か答えよ．
(2)複素数$z (z \neq -1)$に対し，$\displaystyle w=\frac{i(1-z)}{1+z}$とする．このとき，どんな$z$に対しても$w=-i$とはならないことを示せ．
(3)点$z$が$(1)$で求めた図形の上を動くとき，$(2)$の点$w$はどのような図形を描くか答えよ．
国立 静岡大学 2016年 第4問ある高等学校の$3$年生は徒歩通学か自転車通学のいずれかである．このなかから調査対象の集団をいろいろと変えて，そのなかから生徒を無作為に$1$人選ぶ．
(i) 対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$a$であり，男子生徒である確率は$b$である．
(ii) 対象の集団を男子生徒とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$c$である．
$a,\ b,\ c$を正の数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)対象の集団を徒歩通学の生徒とするとき，その生徒が男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学かまたは男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$3$年生全体が$100$人で，自転車通学の女子生徒が$30$人であるとする．$a=c$であるとき，$a$の値をすべて求めよ．
(i) 対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$a$であり，男子生徒である確率は$b$である．
(ii) 対象の集団を男子生徒とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$c$である．
$a,\ b,\ c$を正の数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)対象の集団を徒歩通学の生徒とするとき，その生徒が男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学かまたは男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$3$年生全体が$100$人で，自転車通学の女子生徒が$30$人であるとする．$a=c$であるとき，$a$の値をすべて求めよ．
国立 筑波大学 2016年 第6問複素数平面上を動く点$z$を考える．次の問いに答えよ．
(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ．
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき，$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる．この図形を描け．
(3)$a$を正の実数とする．点$z$が虚軸上を動くとき，$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる．この円の中心と半径を求めよ．
(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ．
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき，$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる．この図形を描け．
(3)$a$を正の実数とする．点$z$が虚軸上を動くとき，$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる．この円の中心と半径を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問平面上の三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$を満たしているとする．また，平面上の動点$\mathrm{P}$に対し実数$f(\mathrm{P})$を
\[ f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \]
で定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$f(\mathrm{G})$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(\mathrm{P})=\frac{8}{3}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき，$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ．
\[ f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \]
で定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$f(\mathrm{G})$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(\mathrm{P})=\frac{8}{3}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき，$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 福島大学 2016年 第4問次の方程式で表される二つの直線$\ell_1,\ \ell_2$を考える．
$\ell_1:(a-1)(x+1)-(a+1)y=0$
$\ell_2:ax-y-1=0$
(1)$\ell_1$は$a$の値によらず定点を通る．この定点の座標を求めなさい．
(2)$a$が実数全体を動くときの，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を求めなさい．
$\ell_1:(a-1)(x+1)-(a+1)y=0$
$\ell_2:ax-y-1=0$
(1)$\ell_1$は$a$の値によらず定点を通る．この定点の座標を求めなさい．
(2)$a$が実数全体を動くときの，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を求めなさい．
国立 宮崎大学 2016年 第1問$y>0$とするとき，不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問$y>0$とするとき，不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．