二つの実数$\alpha,\ \beta$について，
\[ m(\alpha,\ \beta)=\left\{ \begin{array}{lcl}
\beta & & (\alpha \geqq \beta \text{のとき}) \\
\alpha & & (\alpha<\beta \text{のとき})
\end{array} \right. \]
と定め，また
\[ M(\alpha,\ \beta)=\alpha+\beta-m(\alpha,\ \beta) \]
とする．

$a,\ b$を実数として関数$f(x),\ g(x)$を次で定めるとき，以下の問いに答えなさい．
\[ f(x)=-(x-a)^2+b,\quad g(x)=M(0,\ x^2-1) \]


(1)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかきなさい．
(2)全ての実数$x$について
\[ m(f(x),\ g(x))=f(x) \]
が成り立つような$(a,\ b)$の範囲を図示しなさい．

$7$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を使用してできる全ての$4$桁の整数の個数を$N$，その$4$桁の整数のうち，両端が奇数であるものの個数を$M$とする．$\displaystyle \frac{N}{M}$の値を求めよ．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a \neq 0)$と関数$g(x)=px^3+qx^2+rx+s (p \neq 0)$について考える（$a,\ b,\ c,\ d,\ p,\ q,\ r,\ s$は実数）．

$f(x)+3g(x)=-x^2$，$f^\prime(x)+g^\prime(x)=2x^2-4$，$g(0)=1$が全て成立しているとき，$|2aq|$の値を求めよ．

$3$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．袋$\mathrm{A}$には，$1$から$7$までの番号が書かれた玉がそれぞれ$2$個ずつ，計$14$個入っている．また，袋$\mathrm{B}$，袋$\mathrm{C}$には何も入っていない．以下，番号$i$が書かれた玉を「玉$i$」と呼ぶことにする．

袋$\mathrm{A}$から無作為に玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．ここで袋$\mathrm{B}$に入れられた玉を玉$i$とするとき，玉$i-1$，玉$i$，玉$i+1$のうち袋$\mathrm{A}$に入っているものをそれぞれ$1$個ずつ取り出して袋$\mathrm{C}$に入れる．この一連の操作を繰り返す．
例えば，$1$回目の操作の最初に玉$7$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとする．このとき，袋$\mathrm{A}$には玉$6$と玉$7$は入っているが，玉$8$は入っていないので，玉$6$と玉$7$が$1$個ずつ袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{C}$に移される．以上で$1$回目の操作が終わり，袋$\mathrm{A}$に玉$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$の計$11$個が入った状態で$2$回目の操作を始める．


(1)$1$回目の操作で玉$4$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとき，$2$回目の操作で玉$5$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$43$]}{[$44$][$45$]}$である．

(2)$1$回目の操作で玉$2$が袋$\mathrm{B}$に入れられ，かつ$2$回目の操作で玉$1$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$46$]}{[$47$][$48$]}$である．

$1 \leqq i<j \leqq 7$を満たす整数$i,\ j$に対し，$2$回の操作を行った後に袋$\mathrm{B}$に玉$i$と玉$j$が入っている事象を$B_{i,j}$とし，事象$B_{i,j}$の確率を$P(B_{i,j})$で表す．

(3)$\displaystyle P(B_{1,2})=\frac{1}{7} \times \frac{[$49$]}{11}+\frac{1}{7} \times \frac{[$50$]}{10}=\frac{[$51$]}{110}$である．同様に，

$\displaystyle P(B_{1,3})=\frac{[$52$]}{[$53$][$54$]},\quad P(B_{1,7})=\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]},$

$\displaystyle P(B_{2,3})=\frac{[$58$]}{[$59$][$60$]},\quad P(B_{2,4})=\frac{[$61$]}{[$62$][$63$]}$

である．
(4)$\comb{7}{2}$個の事象$B_{1,2},\ B_{1,3},\ \cdots,\ B_{6,7}$のうち，起こる確率が$P(B_{1,2})$であるものは$[$64$]$個，$P(B_{1,3})$であるものは$[$65$]$個，$P(B_{1,7})$であるものは$[$66$]$個，$P(B_{2,3})$であるものは$[$67$]$個，$P(B_{2,4})$であるものは$[$68$]$個である．

(5)$3$回の操作の後，袋$\mathrm{B}$に入っている玉の番号が全て偶数となる確率は$\displaystyle \frac{[$69$]}{[$70$][$71$]}$である．

$3$点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の$1$辺を選び，その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる．このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする．$S_1$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする．$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり，その中には$\mathrm{D}$も含まれる．一般に，自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき，$S_n$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする．次の問に答えよ．

(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．

$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする．$n$チームが参加するサッカーの大会がある．この大会では，全てのチームが$k$回の試合を行う．但し，その$k$試合の対戦相手は，全て異なるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が，何通りあるかもとめよ．
(2)$n=6,\ k=3$のとき，$1$つの大会の試合の総数をもとめよ．
(3)一般に，この大会が成立するためには，$n$か$k$のどちらかが，偶数でなければならないことを示せ．
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し，試合数で割った値を，その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする．
$n=9$のとき，各チームが$k$試合行う大会における，$1$試合の平均得点が，$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする．$1$つの大会における総得点が，もっとも多くなる$k$をもとめよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+9x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(2)定数$a$に対し，直線$\ell:y=ax$が曲線$C$と$x=2$で交点をもつとき，$a$の値と全ての交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)直線$\ell$が曲線$C$と$x \geqq 0$の範囲で異なる$3$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}5$，$\log_{10}6$の値を求めよ．
(2)$3^{100}$の桁数を求めよ．
(3)$3^{100}$の最高位の数字を求めよ．
(4)$(3.75)^n$の整数部分が$10$桁になる自然数$n$を全て求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる．ただし，$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の成分で表せ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる．ただし，$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の成分で表せ．