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西南学院大学 私立 西南学院大学 2015年 第1問
男子$4$人,女子$4$人の合計$8$人のメンバーがいる.以下の問に答えよ.

(1)$8$人を同性$2$人から成る$4$つのグループに分け,さらにこのグループを,先頭から男子グループ,女子グループ,男子グループ,女子グループの順に並べる方法は全部で$[アイ]$通りある.
(2)くじ引きで,男女ペアから成る$4$つのグループを作る.このときメンバーの$1$人である自分が,ある特定の異性と同じグループになる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である.
(3)くじ引きで,$2$人ずつ$4$つのグループを作る.このとき同性同士のグループが少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キク]}$である.
宮城大学 公立 宮城大学 2013年 第2問
次の空欄$[タ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい.

次のような整数の数列$\{a_n\}$がある.
$1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ \cdots,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-2,\ n-1,\ n,\ n-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$
ここで,$a_1=1$だけからなる群を第$1$群,$a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=1$からなる群を第$2$群と呼ぶことにする.一般に,$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots,\ k-1,\ k,\ k-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1$からなる群を第$k$群と呼ぶことにする.
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1)第$n$群の項数を$n$を用いて表せば$[タ]$個となる.
(2)第$n$群に属する項すべての整数の和を$n$を用いて表せば$[チ]$となる.
(3)整数$7$が,数列$\{a_n\}$の初項から「第$n$群に含まれる最後の項」までの間に現れる回数を$n$を用いて表せば$[ツ]$回となる.ただし,$n$は$7$以上の自然数とする.
(4)数列$\{a_n\}$の第$364$項は第$[テ]$群に属し,その第$[テ]$群の先頭から$[ト]$番目の項である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2011年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり,
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である.
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である.
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち,黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする.ここで,$a_1=1$,$a_2=2$である.
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある.頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある.
首都大学東京 公立 首都大学東京 2011年 第3問
以下の問いに答えなさい.

(1)赤,白,黒の玉がそれぞれ$3$個ずつあり,一列に並べるものとする.合計$9$個の玉の並べ方は何通りあるか求めなさい.なお,同じ色の玉は区別しないものとする.
(2)(1)の並べ方のうちで,先頭の$3$個の玉が同じ色であるか,末尾の$3$個の玉が同じ色であるか,少なくとも一方が成り立つ並べ方は何通りあるか求めなさい.
(3)空間において座標$(x,\ y,\ z)$にある点$\mathrm{P}$を$1$回の操作で$(x+1,\ y,\ z)$,$(x,\ y+1,\ z)$,$(x,\ y,\ z+1)$のいずれかを選んでその座標に移動させる.最初に$(0,\ 0,\ 0)$にある点$\mathrm{P}$を,$9$回の操作で$(3,\ 3,\ 3)$に移動させる選び方のうち,$(3,\ 0,\ 0)$,$(0,\ 3,\ 0)$,$(0,\ 0,\ 3)$,$(3,\ 3,\ 0)$,$(3,\ 0,\ 3)$,$(0,\ 3,\ 3)$のいずれも経由しないものは何通りあるか求めなさい.
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2011年 第3問
箱の中に赤いボールが$m$個,白いボールが$n$個入っており,各ボールには異なる名前が付けられている.次の問に答えなさい.

(1)整数$l$を$1 \leqq l \leqq m+n$とする.箱から異なる$l$個のボールを取り出して並べる順列の総数を求めなさい.
(2)整数$k$を$1 \leqq k \leqq l$とする.$(1)$の順列のうち,先頭からかぞえて$k$番目に赤いボールが来る順列の総数を求めなさい.
(3)$l$人が順番にこの箱からボールを$1$つずつ取り出し,取り出したボールは元に戻さないとする.$k$番目の人が赤いボールを取り出す確率を求めなさい.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2010年 第1問
$1$から順に自然数を並べた数列を,下のように,$3$個,$6$個,$9$個,$\cdots$と,第$n$組に含まれる自然数の個数が$3n$個となるような組に分ける.
\[ 1,\ 2,\ 3 \;|\; 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 \;|\; 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18 \;|\; 19,\ 20,\ 21,\ \cdots \]
この数列に関する以下の問いに答えよ.

(1)第$n$組の先頭の自然数の値を,$n$を用いた式で表せ.
(2)第$n$組に含まれる自然数の総和を,$n$を用いた式で表せ.
(3)第$1$組から第$n$組までに含まれる自然数の総和を,$n$を用いた式で表せ.
(4)自然数$1000$は,第何組の何番目に現れるか求めよ.
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「先頭」とは・・・

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