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山形大学 国立 山形大学 2016年 第1問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い,先に$3$勝したチームを優勝とする.$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で,引き分けはないものとする.このとき,次の問に答えよ.

(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ.
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ.
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち,$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第2問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ii) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.

(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2)$n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(3)$m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第2問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ii) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.

(1)$n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2)$m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき,$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第1問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い,先に$3$勝したチームを優勝とする.$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で,引き分けはないものとする.このとき,次の問に答えよ.

(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ.
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ.
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち,$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第1問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い,先に$3$勝したチームを優勝とする.$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で,引き分けはないものとする.このとき,次の問に答えよ.

(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ.
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ.
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち,$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第4問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う.第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.第$2$試合以降は,直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す.最初に$2$連勝したチームを優勝とする.いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり,各試合に引き分けはないものとする.このとき,

(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり,第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である.
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が優勝する確率は,それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$,$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である.

(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち,かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと,$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である.ただし,$n$は自然数とする.
東京女子大学 私立 東京女子大学 2016年 第5問
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行い,先に$3$勝したほうを優勝とする.各試合で$\mathrm{A}$の勝つ確率は$p$であり,引き分けはないものとする.$\mathrm{A}$が$1$回目の試合で勝ったときに,$\mathrm{A}$が優勝する確率を$F(p)$とする.このとき,以下の設問に答えよ.

(1)$F(p)$を$p$で表せ.

(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 F(p) \, dp$を求めよ.
沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2016年 第4問
以下の各問いに答えなさい.

(1)次の値を求めなさい.

(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$

(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ,両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち,それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う.このゲームを繰り返し,先に$3$勝した方を優勝とする.このとき,以下の確率を求めなさい.

(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する.
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する.
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する.
星薬科大学 私立 星薬科大学 2015年 第1問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$チームが続けて試合を行い,先に$3$勝したほうが優勝とする.各試合で$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のそれぞれが勝つ確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$,引き分ける確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき,次の問に答えよ.

(1)$3$試合目で優勝が決まる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$]}$である.
(2)$5$試合が終了した時点で,まだ優勝が決まらない確率は$\displaystyle \frac{[$4$][$5$][$6$]}{[$7$][$8$][$9$]}$である.
岡山大学 国立 岡山大学 2014年 第4問
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行い,先に$3$勝した方が優勝するというゲームを考える.$1$試合ごとに$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$,$\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$,引き分ける確率を$1-p-q$とする.

(1)$3$試合目で優勝が決まる確率を求めよ.
(2)$5$試合目で優勝が決まる確率を求めよ.
(3)$\displaystyle p=q=\frac{1}{3}$としたとき,$5$試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率を求めよ.
(4)$\displaystyle p=q=\frac{1}{2}$としたとき,優勝が決まるまでに行われる試合数の期待値を求めよ.
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