「優勝」について
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国立 山形大学 2016年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い，先に$3$勝したチームを優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で，引き分けはないものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い，先に$3$勝したチームを優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で，引き分けはないものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが試合をくり返し行い，先に$3$勝したチームを優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$で，引き分けはないものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(1)優勝が決まるまでに$\mathrm{B}$チームが少なくとも$1$勝する確率を求めよ．
(2)$3$試合目または$4$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$1$試合目で$\mathrm{A}$チームが勝ち，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う．第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．第$2$試合以降は，直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す．最初に$2$連勝したチームを優勝とする．いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり，各試合に引き分けはないものとする．このとき，
(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である．
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$，$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である．
(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．
(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である．
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$，$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である．
(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．
私立 東京女子大学 2016年 第5問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行い，先に$3$勝したほうを優勝とする．各試合で$\mathrm{A}$の勝つ確率は$p$であり，引き分けはないものとする．$\mathrm{A}$が$1$回目の試合で勝ったときに，$\mathrm{A}$が優勝する確率を$F(p)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$F(p)$を$p$で表せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 F(p) \, dp$を求めよ．
(1)$F(p)$を$p$で表せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 F(p) \, dp$を求めよ．
私立 沖縄国際大学 2016年 第4問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の値を求めなさい．
(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．
(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．
(1)次の値を求めなさい．
(i) $\perm{5}{2}$
(ii) $\comb{5}{4}$
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$枚のコインを投げ，両方とも表が出れば$\mathrm{A}$の勝ち，それ以外は$\mathrm{B}$の勝ちとなるゲームを行う．このゲームを繰り返し，先に$3$勝した方を優勝とする．このとき，以下の確率を求めなさい．
(i) $\mathrm{A}$が$4$戦目で優勝する．
(ii) $\mathrm{A}$が$3$勝$2$敗で優勝する．
(iii) $\mathrm{A}$が優勝する．
私立 星薬科大学 2015年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが続けて試合を行い，先に$3$勝したほうが優勝とする．各試合で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれが勝つ確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$，引き分ける確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき，次の問に答えよ．
(1)$3$試合目で優勝が決まる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$]}$である．
(2)$5$試合が終了した時点で，まだ優勝が決まらない確率は$\displaystyle \frac{[$4$][$5$][$6$]}{[$7$][$8$][$9$]}$である．
(1)$3$試合目で優勝が決まる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$]}$である．
(2)$5$試合が終了した時点で，まだ優勝が決まらない確率は$\displaystyle \frac{[$4$][$5$][$6$]}{[$7$][$8$][$9$]}$である．
国立 岡山大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行い，先に$3$勝した方が優勝するというゲームを考える．$1$試合ごとに$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$，引き分ける確率を$1-p-q$とする．
(1)$3$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(2)$5$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$\displaystyle p=q=\frac{1}{3}$としたとき，$5$試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率を求めよ．
(4)$\displaystyle p=q=\frac{1}{2}$としたとき，優勝が決まるまでに行われる試合数の期待値を求めよ．
(1)$3$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(2)$5$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$\displaystyle p=q=\frac{1}{3}$としたとき，$5$試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率を求めよ．
(4)$\displaystyle p=q=\frac{1}{2}$としたとき，優勝が決まるまでに行われる試合数の期待値を求めよ．