次の各問の$[　]$に当てはまる数を入れよ．

(1)$100$以下の自然数で，$2$と$5$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$個である．
同様に$100$以下の自然数で，$2$と$3$を共に素因数にもち，それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は，$[　]$である．
(2)曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える．曲線$C$の接線で，点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，$[　]$であり，$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は，$[　]$である．
(3)$1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし，$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり，四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える．$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，体積が最大となるのは，
\[ x=[　],\quad y=[　] \]
のときである．

放物線$C:y=4-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を$D$とし，$D$の面積を$S$とする．

(1)$S$を求めよ．
(2)点$(-2,\ 0)$を通り傾き$\displaystyle \frac{4}{5}$の直線と$C$とで囲まれた部分の面積を$T$とする．$T$と$\displaystyle \frac{S}{2}$の大小を判定せよ．
(3)傾きが$\displaystyle \frac{4}{5}$であり$D$の面積を$2$等分する直線を$L$とする．$L$の方程式を求めよ．

関数$f(x)=(x-k)^2$と$g(x)=-(x-2)^2+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)曲線$y=g(x)$について，傾きが$-2$である接線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
(2)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた範囲にある数とする．さらに，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq (x-k)^2 \\
y \leqq -(x-2)^2+4 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす領域を動くとき，$y+2x$の最大値が$9$となるような$k$の値の範囲を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+8x$がある．この曲線に傾きが$-1$である$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．$C$と$\ell_1$で囲まれる部分の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の和を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+8x$がある．この曲線に傾きが$-1$である$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．$C$と$\ell_1$で囲まれる部分の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の和を求めよ．

大小$2$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ b)$について，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが$-1$となる確率を求めよ．
(2)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが整数となる確率を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$（両端を含まない）と直線$y=-x+3$がただ$1$点で交わる確率を求めよ．

曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．

(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．

(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．

放物線$y=4x^2+x$を$C$とし，$a$を正の実数とする．

(1)$C$上の点$(1,\ 5)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(0,\ -a)$から$C$へ引いた$2$つの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし$\ell_1$の傾きは$\ell_2$の傾きより大きいとする．また，$\ell_1,\ \ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式と$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$の座標を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2$を通る直線および$C$で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．
(4)$\ell_1,\ \ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．

$t$を実数とし，$a=t^3+2(2+\sqrt{6})t^2+3(1+2 \sqrt{6})t+2(2+\sqrt{6})$とする．点$(2,\ -2)$を通り，傾き$a$の直線を$\ell$とする．$\ell$と放物線$y=x^2$が交わらない$t$の範囲を求めよ．