$1$個のさいころを繰り返し投げて次のルールで持ち点を変えていく．

{\bf ルール}
$1,\ 2,\ 3$の目のどれかが出たとき，持ち点に$1$点を加える．
$4,\ 5$の目のどちらかが出たとき，持ち点に$2$点を加える．
$6$の目が出たとき，持ち点をすべて失い$0$点とする．

いま，はじめの持ち点は$0$点とする．

(1)さいころを$2$回投げたときの持ち点の期待値は$[ケ]$である．
(2)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$2$点以上となる確率は$[コ]$である．
(3)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$4$点となる確率は$[サ]$である．
(4)さいころを$n$回投げたとき持ち点が$0$でない偶数となる確率を$P_n$とする．$\displaystyle P_1=\frac{1}{3}$，$P_2=[シ]$である．また，$P_{n+1}$と$P_n$の間には$P_{n+1}=[ス]$という関係式が成り立つ．これより$P_n$を$n$を用いて表すと$P_n=[セ]$となる．

大中小$3$つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．また，これらを並べてできる$3$桁の整数$abc$を$n$とする．たとえば，$a=2$，$b=5$，$c=1$なら$n=251$である．

(1)$n$が偶数である確率を求めよ．
(2)$n$を$3$で割った余りが$2$である確率を求めよ．
(3)$n \geqq 325$である確率を求めよ．

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」

次の問いに答えよ．

(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．

(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．

(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}a_n & (a_n \text{が偶数のとき}) \\
5a_n+5 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (a_n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right. \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9$を求めよ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{36} a_k$を求めよ．

$m,\ n$を自然数とする．命題「$m^2+n^2$が奇数$\Longrightarrow$積$mn$は偶数」について，次の問いに答えよ．

(1)この命題の対偶を書け．
(2)$(1)$の対偶を証明することにより，上の命題を証明せよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．

$m$は正の整数とする．箱の中に，$1$と書かれたカードが$1$枚，$2$と書かれたカードが$2$枚，$3$と書かれたカードが$3$枚，$\cdots$，$2m$と書かれたカードが$2m$枚入っている．この箱の中から，$1$枚のカードを取り出し，書かれている数字を記録してからもとに戻す操作を$n$回繰り返す．

(1)箱の中にカードは全部で
\[ m([ア]m+[イ]) \text{枚} \]
入っている．
(2)$n=1$のとき，偶数のカードを取り出す確率は
\[ \frac{m+[ウ]}{[エ]m+[オ]} \]
である．
また，$n=2$のとき，記録した$2$個の数の和が偶数である確率は
\[ \frac{[カ]m^2+[キ]m+[ク]}{[ケ]m^2+[コ]m+[サ]} \]
である．
(3)記録した$n$個の数の和が偶数である確率を$p_n$とする．$p_n$を$m,\ n$を用いて表すと
\[ p_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left( \frac{[セ]}{[ソ]m+[タ]} \right)^n+\frac{[チ]}{[ツ]} \]
である．