$r$を$r>1$である実数とし，数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+r^2}{a_n+1} \]
以下の問いに答えよ．

(1)$n$が奇数のとき$a_n<r$，$n$が偶数のとき$a_n>r$であることを示せ．
(2)任意の自然数$n$について，$a_{n+2}-r$を$a_n$と$r$を用いて表せ．
(3)任意の自然数$n$について，次の不等式を示せ．
\[ \frac{a_{2n+2}-r}{a_{2n}-r}<\left( \frac{r-1}{r+1} \right)^2 \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n+1}$を求めよ．

$1$次関数$f_n(x)=a_nx+b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は以下の$2$つの条件を満たすとする．

(i) $f_1(x)=x$
(ii) $f_{n+1}(x)$は整式$\displaystyle P_n(x)=\int_1^x 6tf_n(t) \, dt$を$x^2+x$で割ったときの余りに等しい．

以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は偶数であることを示せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は$3$の倍数ではないことを示せ．

$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$(ⅰ)$ $n$が奇数のとき． \qquad $(ⅱ)$ $n$が偶数のとき．
(2)$r=5$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

(3)$r=4$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$(ⅰ)$ $n$が奇数のとき． \qquad $(ⅱ)$ $n$が偶数のとき．
(2)$r=5$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

(3)$r=4$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$(ⅰ)$ $n$が奇数のとき． \qquad $(ⅱ)$ $n$が偶数のとき．
(2)$r=5$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

(3)$r=4$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．

(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．

自然数$n$に関する次の条件$p,\ q$を考える．

$p:n^2+3$は偶数である．
$q:n$は奇数である．


(1)命題「$p \Longrightarrow q$」の逆，対偶および裏を述べよ．
(2)命題「$p \Longrightarrow q$」を証明せよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)$1$から$13$までの整数が$1$つずつ書かれた$13$枚のカードの中から$3$枚を選ぶとき，偶数が書かれたカードが$2$枚以上含まれる選び方は$[あ]$通りであり，$11$以上の数が書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる選び方は$[い]$通りである．
(2)$\alpha=2+\sqrt{5}$とするとき，$\alpha$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式$x^2+a_1x+b_1=0$を求めると$a_1=[う]$，$b_1=[え]$である．また自然数$n$に対して，$\alpha^n$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式を$x^2+a_nx+b_n=0$とすると，$b_n=[お]$であり，$a_n^2+a_{2n}=[か]$である．
(3)実数$m$に対して
\[ A(m)=\int_0^1 x(e^x-m)^2 \, dx \]
とおくと，関数$A(m)$は$m=[き]$のとき最小値$[く]$をとる．