「偶数」について
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国立 埼玉大学 2015年 第1問$c$は正の整数とする．数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$，$a_2=c$であり，さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n$は正の整数であり，かつ，$a_n$と$a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ．
(2)${(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)$は$n$によらず一定の値であることを示せ．
(3)$c \geqq 2$とし，$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$とおくと
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
b_{n+1}>b_n & (n \text{が偶数のとき}) \\
b_{n+1}<b_n & (n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right. \]
が成り立つことを示せ．
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n$は正の整数であり，かつ，$a_n$と$a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ．
(2)${(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)$は$n$によらず一定の値であることを示せ．
(3)$c \geqq 2$とし，$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$とおくと
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
b_{n+1}>b_n & (n \text{が偶数のとき}) \\
b_{n+1}<b_n & (n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right. \]
が成り立つことを示せ．
国立 千葉大学 2015年 第4問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 千葉大学 2015年 第2問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 千葉大学 2015年 第3問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 鳴門教育大学 2015年 第5問数直線上で，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とし，さいころを投げて偶数の目が出たときは正の方向へ$1$だけ進み，奇数の目が出たときは負の方向へ$1$だけ進むものとします．$k$回さいころを投げた後の，点$\mathrm{P}$の位置の座標を$X(k)$とするとき，次の確率を求めなさい．
(1)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$である確率
(2)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$以下である確率
(1)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$である確率
(2)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$以下である確率
国立 岐阜大学 2015年 第5問$p$を$2$以上の整数とし，$a=p+\sqrt{p^2-1}$，$b=p-\sqrt{p^2-1}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$a^2+b^2$と$a^3+b^3$がともに偶数であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$a^n+b^n$が偶数であることを示せ．
(3)正の整数$n$について，$[a^n]$が奇数であることを示せ．ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$を表す．
(1)$a^2+b^2$と$a^3+b^3$がともに偶数であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$a^n+b^n$が偶数であることを示せ．
(3)正の整数$n$について，$[a^n]$が奇数であることを示せ．ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$を表す．
国立 金沢大学 2015年 第3問座標平面上で，$x$座標と$y$座標がともに$0$以上の整数である点を，ここでは格子点とよぶ．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へ，両端点がともに格子点であり長さが$1$の線分を用いて，格子点$(0,\ 0)$から順に最も少ない本数でつなぐ方法を数える．例えば，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(3,\ 1)$へつなぐ方法の数は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)格子点$(0,\ 0)$から格子点$(4,\ 0)$へつなぐ方法の数と，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(2,\ 2)$へつなぐ方法の数を，それぞれ求めよ．
(2)条件$k+\ell=5$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を求めよ．
(3)条件$k+\ell=n (n \geqq 1)$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(4)条件$k+\ell=n$（$k$と$\ell$はともに偶数で，$n \geqq 2$）を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(1)格子点$(0,\ 0)$から格子点$(4,\ 0)$へつなぐ方法の数と，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(2,\ 2)$へつなぐ方法の数を，それぞれ求めよ．
(2)条件$k+\ell=5$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を求めよ．
(3)条件$k+\ell=n (n \geqq 1)$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(4)条件$k+\ell=n$（$k$と$\ell$はともに偶数で，$n \geqq 2$）を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
国立 新潟大学 2015年 第5問自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{ll}
f_1(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2} \phantom{\frac{[ ]}{2}} & \\
f_n(x)=\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (n \text{が偶数のとき}) \\
f_n(x)=1-\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (n \text{が}3 \text{以上の奇数のとき})
\end{array} \]
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，$0<x \leqq 1$のとき$\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}<\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．
(1)関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -\frac{x^4}{4!} \leqq f_1(x)-\cos x \leqq \frac{x^4}{4!} \]
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式
\[ -\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \leqq f_{2m-1}(x)-\cos x \leqq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \]
がすべての自然数$m$に対して成り立つことを示せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{m \to \infty} f_{2m-1} \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
\[ \begin{array}{ll}
f_1(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2} \phantom{\frac{[ ]}{2}} & \\
f_n(x)=\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (n \text{が偶数のとき}) \\
f_n(x)=1-\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (n \text{が}3 \text{以上の奇数のとき})
\end{array} \]
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，$0<x \leqq 1$のとき$\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}<\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．
(1)関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -\frac{x^4}{4!} \leqq f_1(x)-\cos x \leqq \frac{x^4}{4!} \]
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式
\[ -\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \leqq f_{2m-1}(x)-\cos x \leqq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \]
がすべての自然数$m$に対して成り立つことを示せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{m \to \infty} f_{2m-1} \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第2問次の$3$つの条件を満たす自然数の組$(x,\ y,\ z)$を考える．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
国立 信州大学 2015年 第1問次の$3$つの条件を満たす自然数の組$(x,\ y,\ z)$を考える．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．
$(ⅰ)$ \ $x$は奇数である．
$(ⅱ)$ \ $x^2+y^2=z^2$
$(ⅲ)$ \ $x,\ y,\ z$の最大公約数は$1$である．
例えば$(x,\ y,\ z)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)$などがその例である．
(1)$y$は偶数であることを示せ．
(2)$x=a^2-b^2,\ y=2ab$となる自然数$a,\ b$が存在することを示せ．
(3)条件を満たす$(x,\ y,\ z)$で，$(3,\ 4,\ 5)$と$(5,\ 12,\ 13)$以外のものを$2$組求めよ．