埼玉大学
2015年 理学部 第1問
1
1
$c$は正の整数とする．数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$，$a_2=c$であり，さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n$は正の整数であり，かつ，$a_n$と$a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ．
(2) ${(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)$は$n$によらず一定の値であることを示せ．
(3) $c \geqq 2$とし，$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$とおくと \[ \left\{ \begin{array}{ll} b_{n+1}>b_n & (n \text{が偶数のとき}) \\ b_{n+1}<b_n & (n \text{が奇数のとき}) \end{array} \right. \] が成り立つことを示せ．
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n$は正の整数であり，かつ，$a_n$と$a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ．
(2) ${(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)$は$n$によらず一定の値であることを示せ．
(3) $c \geqq 2$とし，$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$とおくと \[ \left\{ \begin{array}{ll} b_{n+1}>b_n & (n \text{が偶数のとき}) \\ b_{n+1}<b_n & (n \text{が奇数のとき}) \end{array} \right. \] が成り立つことを示せ．
つぶやく
類題（関連度順）
コメント（1件）
2016-01-24 09:49:23
解答ください！ |
書き込むにはログインが必要です。
